---

Step * 1 1 1 of Lemma derivative-implies-strictly-increasing


1. I : Interval
2. iproper(I)
3. f : I ⟶ℝ
4. f' : I ⟶ℝ
5. d(f[x])/dx = λx.f'[x] on I
6. f'[x] continuous for x ∈ I
7. ∀x:{x:ℝ| x ∈ I} . (r0 < f'[x])
8. x : {x:ℝ| x ∈ I} 
9. y : {x:ℝ| x ∈ I} 
10. x < y
11. [x, y] ⊆ I 
12. k : ℕ+
13. (r1/r(k)) < f'[x]
14. d : ℝ
15. r0 < d
16. ∀x@0,y@0:ℝ.
      (((x ≤ x@0) ∧ (x@0 ≤ y)) ⇒ ((x ≤ y@0) ∧ (y@0 ≤ y)) ⇒ (|x@0 - y@0| ≤ d) ⇒ (|f'[x@0] - f'[y@0]| ≤ (r1/r(2 * k))))
⊢ f[x] < f[y]
BY
{ ((Assert ∀z:ℝ. (((x ≤ z) ∧ (z ≤ y)) ⇒ (|x - z| ≤ d) ⇒ ((r1/r(2 * k)) ≤ f'[z])) BY
          (Auto
           THEN (Assert |f'[x] - f'[z]| ≤ (r1/r(2 * k)) BY
                       Auto)
           THEN (RWO "rabs-difference-bound-rleq" (-1) THENA Auto)
           THEN D -1
           THEN nRAdd ⌜-((r1/r(2 * k)))⌝ (-1)⋅
           THEN (RWO "-1<" 0 THENA Auto)
           THEN (nRAdd ⌜(r1/r(2 * k))⌝ 0⋅ THENA Auto)
           THEN RWO "-10<" 0
           THEN Auto))
   THEN Thin (-2)
   ) }

1
1. I : Interval
2. iproper(I)
3. f : I ⟶ℝ
4. f' : I ⟶ℝ
5. d(f[x])/dx = λx.f'[x] on I
6. f'[x] continuous for x ∈ I
7. ∀x:{x:ℝ| x ∈ I} . (r0 < f'[x])
8. x : {x:ℝ| x ∈ I} 
9. y : {x:ℝ| x ∈ I} 
10. x < y
11. [x, y] ⊆ I 
12. k : ℕ+
13. (r1/r(k)) < f'[x]
14. d : ℝ
15. r0 < d
16. ∀z:ℝ. (((x ≤ z) ∧ (z ≤ y)) ⇒ (|x - z| ≤ d) ⇒ ((r1/r(2 * k)) ≤ f'[z]))
⊢ f[x] < f[y]

---

Latex:

---

Latex:

1.  I  :  Interval
2.  iproper(I)
3.  f  :  I  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}
4.  f'  :  I  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}
5.  d(f[x])/dx  =  \mlambda{}x.f'[x]  on  I
6.  f'[x]  continuous  for  x  \mmember{}  I
7.  \mforall{}x:\{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  I\}  .  (r0  <  f'[x])
8.  x  :  \{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  I\} 
9.  y  :  \{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  I\} 
10.  x  <  y
11.  [x,  y]  \msubseteq{}  I 
12.  k  :  \mBbbN{}\msupplus{}
13.  (r1/r(k))  <  f'[x]
14.  d  :  \mBbbR{}
15.  r0  <  d
16.  \mforall{}x@0,y@0:\mBbbR{}.
            (((x  \mleq{}  x@0)  \mwedge{}  (x@0  \mleq{}  y))
            {}\mRightarrow{}  ((x  \mleq{}  y@0)  \mwedge{}  (y@0  \mleq{}  y))
            {}\mRightarrow{}  (|x@0  -  y@0|  \mleq{}  d)
            {}\mRightarrow{}  (|f'[x@0]  -  f'[y@0]|  \mleq{}  (r1/r(2  *  k))))
\mvdash{}  f[x]  <  f[y]


By

---

Latex:
((Assert  \mforall{}z:\mBbbR{}.  (((x  \mleq{}  z)  \mwedge{}  (z  \mleq{}  y))  {}\mRightarrow{}  (|x  -  z|  \mleq{}  d)  {}\mRightarrow{}  ((r1/r(2  *  k))  \mleq{}  f'[z]))  BY
                (Auto
                  THEN  (Assert  |f'[x]  -  f'[z]|  \mleq{}  (r1/r(2  *  k))  BY
                                          Auto)
                  THEN  (RWO  "rabs-difference-bound-rleq"  (-1)  THENA  Auto)
                  THEN  D  -1
                  THEN  nRAdd  \mkleeneopen{}-((r1/r(2  *  k)))\mkleeneclose{}  (-1)\mcdot{}
                  THEN  (RWO  "-1<"  0  THENA  Auto)
                  THEN  (nRAdd  \mkleeneopen{}(r1/r(2  *  k))\mkleeneclose{}  0\mcdot{}  THENA  Auto)
                  THEN  RWO  "-10<"  0
                  THEN  Auto))
  THEN  Thin  (-2)
  )

---

Home Index