---

Step * 2 of Lemma derivative-rnexp-function

.....upcase..... 
1. I : Interval
2. iproper(I)
3. f : I ⟶ℝ
4. f' : I ⟶ℝ
5. ∀x,y:{x:ℝ| x ∈ I} .  ((x = y) ⇒ (f'[x] = f'[y]))
6. d(f[x])/dx = λx.f'[x] on I
7. n : ℤ
8. 0 < n
9. d(f[x]^n)/dx = λx.(r(n) * f[x]^n - 1) * f'[x] on I
⊢ d(f[x]^n + 1)/dx = λx.(r(n + 1) * f[x]^(n + 1) - 1) * f'[x] on I
BY
{ (InstLemma `derivative-mul` [⌜I⌝;⌜f⌝;⌜λ2x.f[x]^n⌝;⌜f'⌝;⌜λ2x.(r(n) * f'[x]) * f[x]^n - 1⌝]⋅ THENA Auto) }

1
.....wf..... 
1. I : Interval
2. iproper(I)
3. f : I ⟶ℝ
4. f' : I ⟶ℝ
5. ∀x,y:{x:ℝ| x ∈ I} .  ((x = y) ⇒ (f'[x] = f'[y]))
6. d(f[x])/dx = λx.f'[x] on I
7. n : ℤ
8. 0 < n
9. d(f[x]^n)/dx = λx.(r(n) * f[x]^n - 1) * f'[x] on I
⊢ λx.((r(n) * f'[x]) * f[x]^n - 1) ∈ {h:I ⟶ℝ| ∀x,y:{t:ℝ| t ∈ I} .  ((x = y) ⇒ ((h x) = (h y)))} 

2
.....antecedent..... 
1. I : Interval
2. iproper(I)
3. f : I ⟶ℝ
4. f' : I ⟶ℝ
5. ∀x,y:{x:ℝ| x ∈ I} .  ((x = y) ⇒ (f'[x] = f'[y]))
6. d(f[x])/dx = λx.f'[x] on I
7. n : ℤ
8. 0 < n
9. d(f[x]^n)/dx = λx.(r(n) * f[x]^n - 1) * f'[x] on I
⊢ d(f[x]^n)/dx = λx.(r(n) * f'[x]) * f[x]^n - 1 on I

3
1. I : Interval
2. iproper(I)
3. f : I ⟶ℝ
4. f' : I ⟶ℝ
5. ∀x,y:{x:ℝ| x ∈ I} .  ((x = y) ⇒ (f'[x] = f'[y]))
6. d(f[x])/dx = λx.f'[x] on I
7. n : ℤ
8. 0 < n
9. d(f[x]^n)/dx = λx.(r(n) * f[x]^n - 1) * f'[x] on I
10. d(f[x] * f[x]^n)/dx = λx.(f[x] * (r(n) * f'[x]) * f[x]^n - 1) + (f[x]^n * f'[x]) on I
⊢ d(f[x]^n + 1)/dx = λx.(r(n + 1) * f[x]^(n + 1) - 1) * f'[x] on I

---

Latex:

---

Latex:
.....upcase..... 
1.  I  :  Interval
2.  iproper(I)
3.  f  :  I  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}
4.  f'  :  I  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}
5.  \mforall{}x,y:\{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  I\}  .    ((x  =  y)  {}\mRightarrow{}  (f'[x]  =  f'[y]))
6.  d(f[x])/dx  =  \mlambda{}x.f'[x]  on  I
7.  n  :  \mBbbZ{}
8.  0  <  n
9.  d(f[x]\^{}n)/dx  =  \mlambda{}x.(r(n)  *  f[x]\^{}n  -  1)  *  f'[x]  on  I
\mvdash{}  d(f[x]\^{}n  +  1)/dx  =  \mlambda{}x.(r(n  +  1)  *  f[x]\^{}(n  +  1)  -  1)  *  f'[x]  on  I


By

---

Latex:
(InstLemma  `derivative-mul`  [\mkleeneopen{}I\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}f\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}\mlambda{}\msubtwo{}x.f[x]\^{}n\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}f'\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}\mlambda{}\msubtwo{}x.(r(n)  *  f'[x])  *  f[x]\^{}n  -  1\mkleeneclose{}]\mcdot{}
  THENA  Auto
  )

---

Home Index