---

Step * of Lemma derivative-rnexp-function

∀I:Interval
  (iproper(I)
  ⇒ (∀f,f':I ⟶ℝ.
        ((∀x,y:{x:ℝ| x ∈ I} .  ((x = y) ⇒ (f'[x] = f'[y])))
        ⇒ d(f[x])/dx = λx.f'[x] on I
        ⇒ (∀n:ℕ+. d(f[x]^n)/dx = λx.(r(n) * f[x]^n - 1) * f'[x] on I))))
BY
{ (InductionOnNat THEN Auto) }

1
.....basecase..... 
1. I : Interval
2. iproper(I)
3. f : I ⟶ℝ
4. f' : I ⟶ℝ
5. ∀x,y:{x:ℝ| x ∈ I} .  ((x = y) ⇒ (f'[x] = f'[y]))
6. d(f[x])/dx = λx.f'[x] on I
7. n : ℕ+
⊢ d(f[x]^1)/dx = λx.(r1 * f[x]^1 - 1) * f'[x] on I

2
.....upcase..... 
1. I : Interval
2. iproper(I)
3. f : I ⟶ℝ
4. f' : I ⟶ℝ
5. ∀x,y:{x:ℝ| x ∈ I} .  ((x = y) ⇒ (f'[x] = f'[y]))
6. d(f[x])/dx = λx.f'[x] on I
7. n : ℤ
8. 0 < n
9. d(f[x]^n)/dx = λx.(r(n) * f[x]^n - 1) * f'[x] on I
⊢ d(f[x]^n + 1)/dx = λx.(r(n + 1) * f[x]^(n + 1) - 1) * f'[x] on I

---

Latex:

---

Latex:
\mforall{}I:Interval
    (iproper(I)
    {}\mRightarrow{}  (\mforall{}f,f':I  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}.
                ((\mforall{}x,y:\{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  I\}  .    ((x  =  y)  {}\mRightarrow{}  (f'[x]  =  f'[y])))
                {}\mRightarrow{}  d(f[x])/dx  =  \mlambda{}x.f'[x]  on  I
                {}\mRightarrow{}  (\mforall{}n:\mBbbN{}\msupplus{}.  d(f[x]\^{}n)/dx  =  \mlambda{}x.(r(n)  *  f[x]\^{}n  -  1)  *  f'[x]  on  I))))


By

---

Latex:
(InductionOnNat  THEN  Auto)

---

Home Index