---

Step * 2 of Lemma exp-series-converges


1. x : ℝ
2. ∃N:ℕ. ∀n:{N...}. (|(x^n + 1)/(n + 1)!| ≤ (|(x^n)/(n)!|/r(2)))
⊢ Σn.(x^n)/(n)!↓
BY
{ ((ExRepD THEN InstLemma `ratio-test-ext` [⌜λ2n.(x^n)/(n)!⌝;⌜N⌝]⋅)
   THEN Auto
   THEN Thin (-1)
   THEN InstHyp [⌜(r1/r(2))⌝] (-1)⋅
   THEN Auto)⋅ }

1
1. x : ℝ
2. N : ℕ
3. ∀n:{N...}. (|(x^n + 1)/(n + 1)!| ≤ (|(x^n)/(n)!|/r(2)))
4. ∀c:{c:ℝ| (r0 ≤ c) ∧ (c < r1)} . ((∀n:{N...}. (|(x^n + 1)/(n + 1)!| ≤ (c * |(x^n)/(n)!|))) ⇒ Σn.(x^n)/(n)!↓)
5. n : {N...}
⊢ |(x^n + 1)/(n + 1)!| ≤ ((r1/r(2)) * |(x^n)/(n)!|)

---

Latex:

---

Latex:

1.  x  :  \mBbbR{}
2.  \mexists{}N:\mBbbN{}.  \mforall{}n:\{N...\}.  (|(x\^{}n  +  1)/(n  +  1)!|  \mleq{}  (|(x\^{}n)/(n)!|/r(2)))
\mvdash{}  \mSigma{}n.(x\^{}n)/(n)!\mdownarrow{}


By

---

Latex:
((ExRepD  THEN  InstLemma  `ratio-test-ext`  [\mkleeneopen{}\mlambda{}\msubtwo{}n.(x\^{}n)/(n)!\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}N\mkleeneclose{}]\mcdot{})
  THEN  Auto
  THEN  Thin  (-1)
  THEN  InstHyp  [\mkleeneopen{}(r1/r(2))\mkleeneclose{}]  (-1)\mcdot{}
  THEN  Auto)\mcdot{}

---

Home Index