---

Step * of Lemma fixedpoint-property_functionality

No Annotations
∀X:Type. ∀d:metric(X). ∀Y:Type. ∀d':metric(Y).  (homeomorphic(X;d;Y;d') ⇒ mcompact(X;d) ⇒ FP(X) ⇒ FP(Y))
BY
{ (Auto
   THEN RepeatFor 2 (D -3)
   THEN (InstLemma `compact-metric-to-metric-continuity` [⌜X⌝;⌜d⌝;⌜Y⌝;⌜d'⌝;⌜f⌝]⋅ THENA Auto)
   THEN ParallelOp -2
   THEN Auto
   THEN ((D -3 With ⌜n⌝  THENA Auto)
         THEN ExRepD
         THEN (InstLemma `small-reciprocal-real` [⌜delta⌝]⋅ THENA Auto)
         THEN ExRepD)
   THEN (InstHyp [⌜mcompose(f;mcompose(f1;g))⌝;⌜k⌝] 9⋅ THENA Auto)
   THEN D -1
   THEN (D 0 With ⌜f x⌝  THENA Auto)) }

1
1. X : Type
2. d : metric(X)
3. Y : Type
4. d' : metric(Y)
5. f : FUN(X ⟶ Y)
6. g : FUN(Y ⟶ X)
7. [%4] : (∀x:X. g (f x) ≡ x) ∧ (∀y:Y. f (g y) ≡ y)
8. mcompact(X;d)
9. ∀f:FUN(X ⟶ X). ∀n:ℕ+.  ∃x:X. (mdist(d;f x;x) ≤ (r1/r(n)))
10. f1 : FUN(Y ⟶ Y)
11. n : ℕ+
12. delta : {d:ℝ| r0 < d} 
13. ∀x,y:X.  ((mdist(d;x;y) ≤ delta) ⇒ (mdist(d';f x;f y) ≤ (r1/r(n))))
14. k : ℕ+
15. (r1/r(k)) < delta
16. x : X
17. mdist(d;mcompose(f;mcompose(f1;g)) x;x) ≤ (r1/r(k))
⊢ mdist(d';f1 (f x);f x) ≤ (r1/r(n))

---

Latex:

---

Latex:
No  Annotations
\mforall{}X:Type.  \mforall{}d:metric(X).  \mforall{}Y:Type.  \mforall{}d':metric(Y).
    (homeomorphic(X;d;Y;d')  {}\mRightarrow{}  mcompact(X;d)  {}\mRightarrow{}  FP(X)  {}\mRightarrow{}  FP(Y))


By

---

Latex:
(Auto
  THEN  RepeatFor  2  (D  -3)
  THEN  (InstLemma  `compact-metric-to-metric-continuity`  [\mkleeneopen{}X\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}d\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}Y\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}d'\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}f\mkleeneclose{}]\mcdot{}  THENA  Auto)
  THEN  ParallelOp  -2
  THEN  Auto
  THEN  ((D  -3  With  \mkleeneopen{}n\mkleeneclose{}    THENA  Auto)
              THEN  ExRepD
              THEN  (InstLemma  `small-reciprocal-real`  [\mkleeneopen{}delta\mkleeneclose{}]\mcdot{}  THENA  Auto)
              THEN  ExRepD)
  THEN  (InstHyp  [\mkleeneopen{}mcompose(f;mcompose(f1;g))\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}k\mkleeneclose{}]  9\mcdot{}  THENA  Auto)
  THEN  D  -1
  THEN  (D  0  With  \mkleeneopen{}f  x\mkleeneclose{}    THENA  Auto))

---

Home Index