---

Step * 1 of Lemma fixedpoint-property_functionality


1. X : Type
2. d : metric(X)
3. Y : Type
4. d' : metric(Y)
5. f : FUN(X ⟶ Y)
6. g : FUN(Y ⟶ X)
7. [%4] : (∀x:X. g (f x) ≡ x) ∧ (∀y:Y. f (g y) ≡ y)
8. mcompact(X;d)
9. ∀f:FUN(X ⟶ X). ∀n:ℕ+.  ∃x:X. (mdist(d;f x;x) ≤ (r1/r(n)))
10. f1 : FUN(Y ⟶ Y)
11. n : ℕ+
12. delta : {d:ℝ| r0 < d} 
13. ∀x,y:X.  ((mdist(d;x;y) ≤ delta) ⇒ (mdist(d';f x;f y) ≤ (r1/r(n))))
14. k : ℕ+
15. (r1/r(k)) < delta
16. x : X
17. mdist(d;mcompose(f;mcompose(f1;g)) x;x) ≤ (r1/r(k))
⊢ mdist(d';f1 (f x);f x) ≤ (r1/r(n))
BY
{ ((InstHyp [⌜mcompose(f;mcompose(f1;g)) x⌝;⌜x⌝] (-5)⋅ THENA Auto)
   THEN RepUR ``mcompose`` -1
   THEN (Unhide THENA Auto)) }

1
1. X : Type
2. d : metric(X)
3. Y : Type
4. d' : metric(Y)
5. f : FUN(X ⟶ Y)
6. g : FUN(Y ⟶ X)
7. (∀x:X. g (f x) ≡ x) ∧ (∀y:Y. f (g y) ≡ y)
8. mcompact(X;d)
9. ∀f:FUN(X ⟶ X). ∀n:ℕ+.  ∃x:X. (mdist(d;f x;x) ≤ (r1/r(n)))
10. f1 : FUN(Y ⟶ Y)
11. n : ℕ+
12. delta : {d:ℝ| r0 < d} 
13. ∀x,y:X.  ((mdist(d;x;y) ≤ delta) ⇒ (mdist(d';f x;f y) ≤ (r1/r(n))))
14. k : ℕ+
15. (r1/r(k)) < delta
16. x : X
17. mdist(d;mcompose(f;mcompose(f1;g)) x;x) ≤ (r1/r(k))
18. mdist(d';f (g (f1 (f x)));f x) ≤ (r1/r(n))
⊢ mdist(d';f1 (f x);f x) ≤ (r1/r(n))

---

Latex:

---

Latex:

1.  X  :  Type
2.  d  :  metric(X)
3.  Y  :  Type
4.  d'  :  metric(Y)
5.  f  :  FUN(X  {}\mrightarrow{}  Y)
6.  g  :  FUN(Y  {}\mrightarrow{}  X)
7.  [\%4]  :  (\mforall{}x:X.  g  (f  x)  \mequiv{}  x)  \mwedge{}  (\mforall{}y:Y.  f  (g  y)  \mequiv{}  y)
8.  mcompact(X;d)
9.  \mforall{}f:FUN(X  {}\mrightarrow{}  X).  \mforall{}n:\mBbbN{}\msupplus{}.    \mexists{}x:X.  (mdist(d;f  x;x)  \mleq{}  (r1/r(n)))
10.  f1  :  FUN(Y  {}\mrightarrow{}  Y)
11.  n  :  \mBbbN{}\msupplus{}
12.  delta  :  \{d:\mBbbR{}|  r0  <  d\} 
13.  \mforall{}x,y:X.    ((mdist(d;x;y)  \mleq{}  delta)  {}\mRightarrow{}  (mdist(d';f  x;f  y)  \mleq{}  (r1/r(n))))
14.  k  :  \mBbbN{}\msupplus{}
15.  (r1/r(k))  <  delta
16.  x  :  X
17.  mdist(d;mcompose(f;mcompose(f1;g))  x;x)  \mleq{}  (r1/r(k))
\mvdash{}  mdist(d';f1  (f  x);f  x)  \mleq{}  (r1/r(n))


By

---

Latex:
((InstHyp  [\mkleeneopen{}mcompose(f;mcompose(f1;g))  x\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}x\mkleeneclose{}]  (-5)\mcdot{}  THENA  Auto)
  THEN  RepUR  ``mcompose``  -1
  THEN  (Unhide  THENA  Auto))

---

Home Index