---

Step * 1 1 1 1 1 of Lemma fun-comparison-test


1. I : Interval
2. f : ℕ ⟶ I ⟶ℝ
3. g : ℕ ⟶ I ⟶ℝ
4. ∀n:ℕ. ∀x:{x:ℝ| x ∈ I} .  (|f[n;x]| ≤ g[n;x])
5. a : {a:ℕ+| icompact(i-approx(I;a))} 
6. k : ℕ+
7. N : ℕ+
8. ∀x:{x:ℝ| x ∈ i-approx(I;a)} . ∀n,m:{N...}.  (|Σ{g[i;x] | 0≤i≤n} - Σ{g[i;x] | 0≤i≤m}| ≤ (r1/r(k)))
9. n : ℕ
10. N ≤ n
11. m : ℕ
12. x : ℝ
13. x ∈ i-approx(I;a)
14. ∀m:{N...}. (|Σ{g[i;x] | 0≤i≤n} - Σ{g[i;x] | 0≤i≤m}| ≤ (r1/r(k)))
15. x ∈ I
16. n ≤ m
⊢ Σ{g[i;x] | n + 1≤i≤m} ≤ (r1/r(k))
BY
{ (InstHyp [⌜m⌝] (-3)⋅ THENA Auto) }

1
1. I : Interval
2. f : ℕ ⟶ I ⟶ℝ
3. g : ℕ ⟶ I ⟶ℝ
4. ∀n:ℕ. ∀x:{x:ℝ| x ∈ I} .  (|f[n;x]| ≤ g[n;x])
5. a : {a:ℕ+| icompact(i-approx(I;a))} 
6. k : ℕ+
7. N : ℕ+
8. ∀x:{x:ℝ| x ∈ i-approx(I;a)} . ∀n,m:{N...}.  (|Σ{g[i;x] | 0≤i≤n} - Σ{g[i;x] | 0≤i≤m}| ≤ (r1/r(k)))
9. n : ℕ
10. N ≤ n
11. m : ℕ
12. x : ℝ
13. x ∈ i-approx(I;a)
14. ∀m:{N...}. (|Σ{g[i;x] | 0≤i≤n} - Σ{g[i;x] | 0≤i≤m}| ≤ (r1/r(k)))
15. x ∈ I
16. n ≤ m
17. |Σ{g[i;x] | 0≤i≤n} - Σ{g[i;x] | 0≤i≤m}| ≤ (r1/r(k))
⊢ Σ{g[i;x] | n + 1≤i≤m} ≤ (r1/r(k))

---

Latex:

---

Latex:

1.  I  :  Interval
2.  f  :  \mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  I  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}
3.  g  :  \mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  I  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}
4.  \mforall{}n:\mBbbN{}.  \mforall{}x:\{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  I\}  .    (|f[n;x]|  \mleq{}  g[n;x])
5.  a  :  \{a:\mBbbN{}\msupplus{}|  icompact(i-approx(I;a))\} 
6.  k  :  \mBbbN{}\msupplus{}
7.  N  :  \mBbbN{}\msupplus{}
8.  \mforall{}x:\{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  i-approx(I;a)\}  .  \mforall{}n,m:\{N...\}.    (|\mSigma{}\{g[i;x]  |  0\mleq{}i\mleq{}n\}  -  \mSigma{}\{g[i;x]  |  0\mleq{}i\mleq{}m\}|  \mleq{}  (r1/r(k)))
9.  n  :  \mBbbN{}
10.  N  \mleq{}  n
11.  m  :  \mBbbN{}
12.  x  :  \mBbbR{}
13.  x  \mmember{}  i-approx(I;a)
14.  \mforall{}m:\{N...\}.  (|\mSigma{}\{g[i;x]  |  0\mleq{}i\mleq{}n\}  -  \mSigma{}\{g[i;x]  |  0\mleq{}i\mleq{}m\}|  \mleq{}  (r1/r(k)))
15.  x  \mmember{}  I
16.  n  \mleq{}  m
\mvdash{}  \mSigma{}\{g[i;x]  |  n  +  1\mleq{}i\mleq{}m\}  \mleq{}  (r1/r(k))


By

---

Latex:
(InstHyp  [\mkleeneopen{}m\mkleeneclose{}]  (-3)\mcdot{}  THENA  Auto)

---

Home Index