---

Step * 1 1 1 2 1 1 1 of Lemma fun-converges-to-cosine


1. ∀x:ℝ. Σi.-1^i * (x^2 * i)/(2 * i)! = cosine(x)
2. m : ℕ+
3. r0 ≤ (r1/r(4))
4. (r1/r(4)) < r1
5. x : {x:ℝ| |x| ≤ r(m)} 
6. 1 ≤ m
7. n : ℕ
8. m ≤ n
9. r0 < r((2 * n)!)
10. r0 < r(((2 * n) + 1)!)
⊢ |(x^2 * (n + 1)/r((2 * (n + 1))!))| ≤ ((r1/r(4)) * |(x^2 * n/r((2 * n)!))|)
BY
{ ((Assert |r((2 * (n + 1))!)| = r((2 * (n + 1))!) BY
          (RWO "rabs-of-nonneg" 0 THEN Auto))
   THEN (Assert |r((2 * n)!)| = r((2 * n)!) BY
               (RWO "rabs-of-nonneg" 0 THEN Auto))
   ) }

1
1. ∀x:ℝ. Σi.-1^i * (x^2 * i)/(2 * i)! = cosine(x)
2. m : ℕ+
3. r0 ≤ (r1/r(4))
4. (r1/r(4)) < r1
5. x : {x:ℝ| |x| ≤ r(m)} 
6. 1 ≤ m
7. n : ℕ
8. m ≤ n
9. r0 < r((2 * n)!)
10. r0 < r(((2 * n) + 1)!)
11. |r((2 * (n + 1))!)| = r((2 * (n + 1))!)
12. |r((2 * n)!)| = r((2 * n)!)
⊢ |(x^2 * (n + 1)/r((2 * (n + 1))!))| ≤ ((r1/r(4)) * |(x^2 * n/r((2 * n)!))|)

---

Latex:

---

Latex:

1.  \mforall{}x:\mBbbR{}.  \mSigma{}i.-1\^{}i  *  (x\^{}2  *  i)/(2  *  i)!  =  cosine(x)
2.  m  :  \mBbbN{}\msupplus{}
3.  r0  \mleq{}  (r1/r(4))
4.  (r1/r(4))  <  r1
5.  x  :  \{x:\mBbbR{}|  |x|  \mleq{}  r(m)\} 
6.  1  \mleq{}  m
7.  n  :  \mBbbN{}
8.  m  \mleq{}  n
9.  r0  <  r((2  *  n)!)
10.  r0  <  r(((2  *  n)  +  1)!)
\mvdash{}  |(x\^{}2  *  (n  +  1)/r((2  *  (n  +  1))!))|  \mleq{}  ((r1/r(4))  *  |(x\^{}2  *  n/r((2  *  n)!))|)


By

---

Latex:
((Assert  |r((2  *  (n  +  1))!)|  =  r((2  *  (n  +  1))!)  BY
                (RWO  "rabs-of-nonneg"  0  THEN  Auto))
  THEN  (Assert  |r((2  *  n)!)|  =  r((2  *  n)!)  BY
                          (RWO  "rabs-of-nonneg"  0  THEN  Auto))
  )

---

Home Index