---

Step * 1 1 1 of Lemma fun-converges-to-sine


1. ∀x:ℝ. Σi.-1^i * (x^(2 * i) + 1)/((2 * i) + 1)! = sine(x)
2. m : ℕ+
3. r0 ≤ (r1/r(4))
4. (r1/r(4)) < r1
5. x : {x:ℝ| |x| ≤ r(m)} 
6. n : ℕ
7. m ≤ n
8. r0 < r(((2 * n) + 1)!)
9. r0 < r(((2 * (n + 1)) + 1)!)
10. |r(((2 * (n + 1)) + 1)!)| = r(((2 * (n + 1)) + 1)!)
11. |r(((2 * n) + 1)!)| = r(((2 * n) + 1)!)
⊢ (|x^(2 * (n + 1)) + 1|/|r(((2 * (n + 1)) + 1)!)|) ≤ ((r1/r(4)) * (|x^(2 * n) + 1|/|r(((2 * n) + 1)!)|))
BY
{ Assert ⌜|r(((2 * (n + 1)) + 1)!)| = (r(((2 * n) + 3) * ((2 * n) + 2)) * |r(((2 * n) + 1)!)|)⌝⋅ }

1
.....assertion..... 
1. ∀x:ℝ. Σi.-1^i * (x^(2 * i) + 1)/((2 * i) + 1)! = sine(x)
2. m : ℕ+
3. r0 ≤ (r1/r(4))
4. (r1/r(4)) < r1
5. x : {x:ℝ| |x| ≤ r(m)} 
6. n : ℕ
7. m ≤ n
8. r0 < r(((2 * n) + 1)!)
9. r0 < r(((2 * (n + 1)) + 1)!)
10. |r(((2 * (n + 1)) + 1)!)| = r(((2 * (n + 1)) + 1)!)
11. |r(((2 * n) + 1)!)| = r(((2 * n) + 1)!)
⊢ |r(((2 * (n + 1)) + 1)!)| = (r(((2 * n) + 3) * ((2 * n) + 2)) * |r(((2 * n) + 1)!)|)

2
1. ∀x:ℝ. Σi.-1^i * (x^(2 * i) + 1)/((2 * i) + 1)! = sine(x)
2. m : ℕ+
3. r0 ≤ (r1/r(4))
4. (r1/r(4)) < r1
5. x : {x:ℝ| |x| ≤ r(m)} 
6. n : ℕ
7. m ≤ n
8. r0 < r(((2 * n) + 1)!)
9. r0 < r(((2 * (n + 1)) + 1)!)
10. |r(((2 * (n + 1)) + 1)!)| = r(((2 * (n + 1)) + 1)!)
11. |r(((2 * n) + 1)!)| = r(((2 * n) + 1)!)
12. |r(((2 * (n + 1)) + 1)!)| = (r(((2 * n) + 3) * ((2 * n) + 2)) * |r(((2 * n) + 1)!)|)
⊢ (|x^(2 * (n + 1)) + 1|/|r(((2 * (n + 1)) + 1)!)|) ≤ ((r1/r(4)) * (|x^(2 * n) + 1|/|r(((2 * n) + 1)!)|))

---

Latex:

---

Latex:

1.  \mforall{}x:\mBbbR{}.  \mSigma{}i.-1\^{}i  *  (x\^{}(2  *  i)  +  1)/((2  *  i)  +  1)!  =  sine(x)
2.  m  :  \mBbbN{}\msupplus{}
3.  r0  \mleq{}  (r1/r(4))
4.  (r1/r(4))  <  r1
5.  x  :  \{x:\mBbbR{}|  |x|  \mleq{}  r(m)\} 
6.  n  :  \mBbbN{}
7.  m  \mleq{}  n
8.  r0  <  r(((2  *  n)  +  1)!)
9.  r0  <  r(((2  *  (n  +  1))  +  1)!)
10.  |r(((2  *  (n  +  1))  +  1)!)|  =  r(((2  *  (n  +  1))  +  1)!)
11.  |r(((2  *  n)  +  1)!)|  =  r(((2  *  n)  +  1)!)
\mvdash{}  (|x\^{}(2  *  (n  +  1))  +  1|/|r(((2  *  (n  +  1))  +  1)!)|)  \mleq{}  ((r1/r(4))
*  (|x\^{}(2  *  n)  +  1|/|r(((2  *  n)  +  1)!)|))


By

---

Latex:
Assert  \mkleeneopen{}|r(((2  *  (n  +  1))  +  1)!)|  =  (r(((2  *  n)  +  3)  *  ((2  *  n)  +  2))  *  |r(((2  *  n)  +  1)!)|)\mkleeneclose{}\mcdot{}

---

Home Index