---

Step * 1 1 1 2 of Lemma fun-converges-to-sine


1. ∀x:ℝ. Σi.-1^i * (x^(2 * i) + 1)/((2 * i) + 1)! = sine(x)
2. m : ℕ+
3. r0 ≤ (r1/r(4))
4. (r1/r(4)) < r1
5. x : {x:ℝ| |x| ≤ r(m)} 
6. n : ℕ
7. m ≤ n
8. r0 < r(((2 * n) + 1)!)
9. r0 < r(((2 * (n + 1)) + 1)!)
10. |r(((2 * (n + 1)) + 1)!)| = r(((2 * (n + 1)) + 1)!)
11. |r(((2 * n) + 1)!)| = r(((2 * n) + 1)!)
12. |r(((2 * (n + 1)) + 1)!)| = (r(((2 * n) + 3) * ((2 * n) + 2)) * |r(((2 * n) + 1)!)|)
⊢ (|x^(2 * (n + 1)) + 1|/|r(((2 * (n + 1)) + 1)!)|) ≤ ((r1/r(4)) * (|x^(2 * n) + 1|/|r(((2 * n) + 1)!)|))
BY
{ ((Assert r0 < |r(((2 * (n + 1)) + 1)!)| BY
          (RWO "-3" 0 THEN Auto))
   THEN (Assert r0 < |r(((2 * n) + 1)!)| BY
               (RWO "-3" 0 THEN Auto))
   THEN RepeatFor 3 (MoveToConcl (-1))
   THEN (GenConclTerms Auto [⌜|r(((2 * (n + 1)) + 1)!)|⌝;⌜|r(((2 * n) + 1)!)|⌝]⋅ THENA Auto)
   THEN Auto
   THEN (nRMul ⌜v⌝ 0⋅ THENA Auto)
   THEN (nRMul ⌜v1⌝ 0⋅ THENA Auto)
   THEN nRMul ⌜r(4)⌝ 0⋅
   THEN Auto) }

1
1. ∀x:ℝ. Σi.-1^i * (x^(2 * i) + 1)/((2 * i) + 1)! = sine(x)
2. m : ℕ+
3. r0 ≤ (r1/r(4))
4. (r1/r(4)) < r1
5. x : {x:ℝ| |x| ≤ r(m)} 
6. n : ℕ
7. m ≤ n
8. r0 < r(((2 * n) + 1)!)
9. r0 < r(((2 * (n + 1)) + 1)!)
10. |r(((2 * (n + 1)) + 1)!)| = r(((2 * (n + 1)) + 1)!)
11. |r(((2 * n) + 1)!)| = r(((2 * n) + 1)!)
12. v : ℝ
13. |r(((2 * (n + 1)) + 1)!)| = v ∈ ℝ
14. v1 : ℝ
15. |r(((2 * n) + 1)!)| = v1 ∈ ℝ
16. v = (r(((2 * n) + 3) * ((2 * n) + 2)) * v1)
17. r0 < v
18. r0 < v1
⊢ (r(4) * |x^(2 * (n + 1)) + 1| * v1) ≤ (|x^(2 * n) + 1| * v)

---

Latex:

---

Latex:

1.  \mforall{}x:\mBbbR{}.  \mSigma{}i.-1\^{}i  *  (x\^{}(2  *  i)  +  1)/((2  *  i)  +  1)!  =  sine(x)
2.  m  :  \mBbbN{}\msupplus{}
3.  r0  \mleq{}  (r1/r(4))
4.  (r1/r(4))  <  r1
5.  x  :  \{x:\mBbbR{}|  |x|  \mleq{}  r(m)\} 
6.  n  :  \mBbbN{}
7.  m  \mleq{}  n
8.  r0  <  r(((2  *  n)  +  1)!)
9.  r0  <  r(((2  *  (n  +  1))  +  1)!)
10.  |r(((2  *  (n  +  1))  +  1)!)|  =  r(((2  *  (n  +  1))  +  1)!)
11.  |r(((2  *  n)  +  1)!)|  =  r(((2  *  n)  +  1)!)
12.  |r(((2  *  (n  +  1))  +  1)!)|  =  (r(((2  *  n)  +  3)  *  ((2  *  n)  +  2))  *  |r(((2  *  n)  +  1)!)|)
\mvdash{}  (|x\^{}(2  *  (n  +  1))  +  1|/|r(((2  *  (n  +  1))  +  1)!)|)  \mleq{}  ((r1/r(4))
*  (|x\^{}(2  *  n)  +  1|/|r(((2  *  n)  +  1)!)|))


By

---

Latex:
((Assert  r0  <  |r(((2  *  (n  +  1))  +  1)!)|  BY
                (RWO  "-3"  0  THEN  Auto))
  THEN  (Assert  r0  <  |r(((2  *  n)  +  1)!)|  BY
                          (RWO  "-3"  0  THEN  Auto))
  THEN  RepeatFor  3  (MoveToConcl  (-1))
  THEN  (GenConclTerms  Auto  [\mkleeneopen{}|r(((2  *  (n  +  1))  +  1)!)|\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}|r(((2  *  n)  +  1)!)|\mkleeneclose{}]\mcdot{}  THENA  Auto)
  THEN  Auto
  THEN  (nRMul  \mkleeneopen{}v\mkleeneclose{}  0\mcdot{}  THENA  Auto)
  THEN  (nRMul  \mkleeneopen{}v1\mkleeneclose{}  0\mcdot{}  THENA  Auto)
  THEN  nRMul  \mkleeneopen{}r(4)\mkleeneclose{}  0\mcdot{}
  THEN  Auto)

---

Home Index