---

Step * 6 1 1 of Lemma i-member-implies


1. y : ℝ
2. y1 : Top
3. r : ℝ
4. M : ℕ+
5. (y ≤ (r - (r1/r(M)))) ∧ (r ≤ r(M))
6. (r1/r(2 * M)) < (r1/r(M))
7. (r1/r(M)) = (r(2) * (r1/r(2 * M)))
⊢ ∃n,M:ℕ+
   ((((y + (r1/r(n))) ≤ r) ∧ (r ≤ r(n)))
   ∧ (∀y@0:{y@0:ℝ| y < y@0} 
        ((((r - (r1/r(M))) ≤ y@0) ∧ (y@0 ≤ (r + (r1/r(M))))) ⇒ (((y + (r1/r(n))) ≤ y@0) ∧ (y@0 ≤ r(n)))))
   ∧ (((True ∧ False) ⇒ (y < case ⊥ of inl(b) => b | inr(b) => b)) ⇒ (True ∧ True) ⇒ ((y + (r1/r(n))) < r(n))))
BY
{ ((Assert (r(M) + (r1/r(2 * M))) ≤ r(2 * M) BY
          (All Thin THEN ((Assert 1 ≤ M BY Auto) THEN (Mul ⌜M⌝ (-1)⋅ THENA Auto)) THEN nRMul ⌜r(2 * M)⌝ 0⋅ THEN Auto))
   THEN InstConcl [⌜2 * M⌝;⌜2 * M⌝]⋅
   THEN Auto) }

1
1. y : ℝ
2. y1 : Top
3. r : ℝ
4. M : ℕ+
5. y ≤ (r - (r1/r(M)))
6. r ≤ r(M)
7. (r1/r(2 * M)) < (r1/r(M))
8. (r1/r(M)) = (r(2) * (r1/r(2 * M)))
9. (r(M) + (r1/r(2 * M))) ≤ r(2 * M)
⊢ (y + (r1/r(2 * M))) ≤ r

2
1. y : ℝ
2. y1 : Top
3. r : ℝ
4. M : ℕ+
5. y ≤ (r - (r1/r(M)))
6. r ≤ r(M)
7. (r1/r(2 * M)) < (r1/r(M))
8. (r1/r(M)) = (r(2) * (r1/r(2 * M)))
9. (r(M) + (r1/r(2 * M))) ≤ r(2 * M)
10. (y + (r1/r(2 * M))) ≤ r
⊢ r ≤ r(2 * M)

3
1. y : ℝ
2. y1 : Top
3. r : ℝ
4. M : ℕ+
5. y ≤ (r - (r1/r(M)))
6. r ≤ r(M)
7. (r1/r(2 * M)) < (r1/r(M))
8. (r1/r(M)) = (r(2) * (r1/r(2 * M)))
9. (r(M) + (r1/r(2 * M))) ≤ r(2 * M)
10. (y + (r1/r(2 * M))) ≤ r
11. r ≤ r(2 * M)
12. y@0 : {y@0:ℝ| y < y@0} 
13. (r - (r1/r(2 * M))) ≤ y@0
14. y@0 ≤ (r + (r1/r(2 * M)))
⊢ (y + (r1/r(2 * M))) ≤ y@0

4
1. y : ℝ
2. y1 : Top
3. r : ℝ
4. M : ℕ+
5. y ≤ (r - (r1/r(M)))
6. r ≤ r(M)
7. (r1/r(2 * M)) < (r1/r(M))
8. (r1/r(M)) = (r(2) * (r1/r(2 * M)))
9. (r(M) + (r1/r(2 * M))) ≤ r(2 * M)
10. (y + (r1/r(2 * M))) ≤ r
11. r ≤ r(2 * M)
12. ∀y@0:{y@0:ℝ| y < y@0} 
      ((((r - (r1/r(2 * M))) ≤ y@0) ∧ (y@0 ≤ (r + (r1/r(2 * M))))) ⇒ (((y + (r1/r(2 * M))) ≤ y@0) ∧ (y@0 ≤ r(2 * M))))
13. (True ∧ False) ⇒ (y < case ⊥ of inl(b) => b | inr(b) => b)
14. True
15. True
⊢ (y + (r1/r(2 * M))) < r(2 * M)

---

Latex:

---

Latex:

1.  y  :  \mBbbR{}
2.  y1  :  Top
3.  r  :  \mBbbR{}
4.  M  :  \mBbbN{}\msupplus{}
5.  (y  \mleq{}  (r  -  (r1/r(M))))  \mwedge{}  (r  \mleq{}  r(M))
6.  (r1/r(2  *  M))  <  (r1/r(M))
7.  (r1/r(M))  =  (r(2)  *  (r1/r(2  *  M)))
\mvdash{}  \mexists{}n,M:\mBbbN{}\msupplus{}
      ((((y  +  (r1/r(n)))  \mleq{}  r)  \mwedge{}  (r  \mleq{}  r(n)))
      \mwedge{}  (\mforall{}y@0:\{y@0:\mBbbR{}|  y  <  y@0\} 
                ((((r  -  (r1/r(M)))  \mleq{}  y@0)  \mwedge{}  (y@0  \mleq{}  (r  +  (r1/r(M)))))
                {}\mRightarrow{}  (((y  +  (r1/r(n)))  \mleq{}  y@0)  \mwedge{}  (y@0  \mleq{}  r(n)))))
      \mwedge{}  (((True  \mwedge{}  False)  {}\mRightarrow{}  (y  <  case  \mbot{}  of  inl(b)  =>  b  |  inr(b)  =>  b))
          {}\mRightarrow{}  (True  \mwedge{}  True)
          {}\mRightarrow{}  ((y  +  (r1/r(n)))  <  r(n))))


By

---

Latex:
((Assert  (r(M)  +  (r1/r(2  *  M)))  \mleq{}  r(2  *  M)  BY
                (All  Thin
                  THEN  ((Assert  1  \mleq{}  M  BY  Auto)  THEN  (Mul  \mkleeneopen{}M\mkleeneclose{}  (-1)\mcdot{}  THENA  Auto))
                  THEN  nRMul  \mkleeneopen{}r(2  *  M)\mkleeneclose{}  0\mcdot{}
                  THEN  Auto))
  THEN  InstConcl  [\mkleeneopen{}2  *  M\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}2  *  M\mkleeneclose{}]\mcdot{}
  THEN  Auto)

---

Home Index