---

Step * 2 2 1 of Lemma infn-property


1. I : {I:Interval| icompact(I)} 
2. n : ℤ
3. [%1] : 0 < n
4. ∀f:{f:I^n - 1 ⟶ ℝ| ∀a,b:I^n - 1.  (req-vec(n - 1;a;b) ⇒ ((f a) = (f b)))} . ∀e:{e:ℝ| r0 < e} .
     ∃x:I^n - 1. ((f x) ≤ ((infn(n - 1;I) f) + e))
5. f : {f:I^n ⟶ ℝ| ∀a,b:I^n.  (req-vec(n;a;b) ⇒ ((f a) = (f b)))} 
6. e : {e:ℝ| r0 < e} 
7. ∀z:{x:ℝ| x ∈ I} . (λa.(f a++z) ∈ {f:I^n - 1 ⟶ ℝ| ∀a,b:I^n - 1.  (req-vec(n - 1;a;b) ⇒ ((f a) = (f b)))} )
8. ∀a,b:I^n.  (req-vec(n;a;b) ⇒ ((f a) = (f b)))
⊢ ∃x:I^n. ((f x) ≤ (inf{infn(n - 1;I) (λa.(f a++z)) | z ∈ I} + e))
BY
{ ((Assert ∀x,y:{x:ℝ| x ∈ I} .  ((x = y) ⇒ ((infn(n - 1;I) (λa.(f a++x))) = (infn(n - 1;I) (λa.(f a++y))))) BY
          (Intros
           THEN BLemma `infn_functionality`
           THEN Try ((Intros
                      THEN Reduce 0
                      THEN BackThruSomeHyp
                      THEN Try (ParallelLast)
                      THEN RepUR ``req-vec real-vec-extend`` 0))
           THEN Auto))
   THEN (InstLemma `range_inf-property` [⌜I⌝;⌜λ2z.infn(n - 1;I) (λa.(f a++z))⌝]⋅ THENA Auto)
   ) }

1
1. I : {I:Interval| icompact(I)} 
2. n : ℤ
3. [%1] : 0 < n
4. ∀f:{f:I^n - 1 ⟶ ℝ| ∀a,b:I^n - 1.  (req-vec(n - 1;a;b) ⇒ ((f a) = (f b)))} . ∀e:{e:ℝ| r0 < e} .
     ∃x:I^n - 1. ((f x) ≤ ((infn(n - 1;I) f) + e))
5. f : {f:I^n ⟶ ℝ| ∀a,b:I^n.  (req-vec(n;a;b) ⇒ ((f a) = (f b)))} 
6. e : {e:ℝ| r0 < e} 
7. ∀z:{x:ℝ| x ∈ I} . (λa.(f a++z) ∈ {f:I^n - 1 ⟶ ℝ| ∀a,b:I^n - 1.  (req-vec(n - 1;a;b) ⇒ ((f a) = (f b)))} )
8. ∀a,b:I^n.  (req-vec(n;a;b) ⇒ ((f a) = (f b)))
9. ∀x,y:{x:ℝ| x ∈ I} .  ((x = y) ⇒ ((infn(n - 1;I) (λa.(f a++x))) = (infn(n - 1;I) (λa.(f a++y)))))
10. inf(infn(n - 1;I) (λa.(f a++x))(x∈I)) = inf{infn(n - 1;I) (λa.(f a++x)) | x ∈ I}
⊢ ∃x:I^n. ((f x) ≤ (inf{infn(n - 1;I) (λa.(f a++z)) | z ∈ I} + e))

---

Latex:

---

Latex:

1.  I  :  \{I:Interval|  icompact(I)\} 
2.  n  :  \mBbbZ{}
3.  [\%1]  :  0  <  n
4.  \mforall{}f:\{f:I\^{}n  -  1  {}\mrightarrow{}  \mBbbR{}|  \mforall{}a,b:I\^{}n  -  1.    (req-vec(n  -  1;a;b)  {}\mRightarrow{}  ((f  a)  =  (f  b)))\}  .  \mforall{}e:\{e:\mBbbR{}|  r0  <  e\}  .
          \mexists{}x:I\^{}n  -  1.  ((f  x)  \mleq{}  ((infn(n  -  1;I)  f)  +  e))
5.  f  :  \{f:I\^{}n  {}\mrightarrow{}  \mBbbR{}|  \mforall{}a,b:I\^{}n.    (req-vec(n;a;b)  {}\mRightarrow{}  ((f  a)  =  (f  b)))\} 
6.  e  :  \{e:\mBbbR{}|  r0  <  e\} 
7.  \mforall{}z:\{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  I\} 
          (\mlambda{}a.(f  a++z)  \mmember{}  \{f:I\^{}n  -  1  {}\mrightarrow{}  \mBbbR{}|  \mforall{}a,b:I\^{}n  -  1.    (req-vec(n  -  1;a;b)  {}\mRightarrow{}  ((f  a)  =  (f  b)))\}  )
8.  \mforall{}a,b:I\^{}n.    (req-vec(n;a;b)  {}\mRightarrow{}  ((f  a)  =  (f  b)))
\mvdash{}  \mexists{}x:I\^{}n.  ((f  x)  \mleq{}  (inf\{infn(n  -  1;I)  (\mlambda{}a.(f  a++z))  |  z  \mmember{}  I\}  +  e))


By

---

Latex:
((Assert  \mforall{}x,y:\{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  I\}  .
                      ((x  =  y)  {}\mRightarrow{}  ((infn(n  -  1;I)  (\mlambda{}a.(f  a++x)))  =  (infn(n  -  1;I)  (\mlambda{}a.(f  a++y)))))  BY
                (Intros
                  THEN  BLemma  `infn\_functionality`
                  THEN  Try  ((Intros
                                        THEN  Reduce  0
                                        THEN  BackThruSomeHyp
                                        THEN  Try  (ParallelLast)
                                        THEN  RepUR  ``req-vec  real-vec-extend``  0))
                  THEN  Auto))
  THEN  (InstLemma  `range\_inf-property`  [\mkleeneopen{}I\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}\mlambda{}\msubtwo{}z.infn(n  -  1;I)  (\mlambda{}a.(f  a++z))\mkleeneclose{}]\mcdot{}  THENA  Auto)
  )

---

Home Index