---

Step * 1 1 1 of Lemma int-rdiv-int-rmul


1. k : ℤ-o
2. a : ℕ+ ⟶ ℤ
3. regular-seq(a)
4. n : ℕ+
5. k < 0
6. k ≤ (-2)
7. (n * k) ≤ (n * (-2))
⊢ |(-((a ((-k) * n)) - a ((-k) * n) rem k)) - k * (a n)| ≤ (|k| * 4)
BY
{ ((D 3 With ⌜(-k) * n⌝  THENA Auto)
   THEN (D -1 With ⌜n⌝  THENA Auto)
   THEN (Mul ⌜|n|⌝ 0⋅ THENA Auto)
   THEN (RWO "absval_mul<" 0 THENA Auto)
   THEN (GenConcl ⌜(a ((-k) * n) rem k) = r ∈ {r:ℤ| |r| < |k|} ⌝⋅ THENA Auto)) }

1
1. k : ℤ-o
2. a : ℕ+ ⟶ ℤ
3. n : ℕ+
4. k < 0
5. k ≤ (-2)
6. (n * k) ≤ (n * (-2))
7. |(n * (a ((-k) * n))) - ((-k) * n) * (a n)| ≤ ((2 * 1) * (((-k) * n) + n))
8. r : {r:ℤ| |r| < |k|} 
9. (a ((-k) * n) rem k) = r ∈ {r:ℤ| |r| < |k|} 
⊢ |n * ((-((a ((-k) * n)) - r)) - k * (a n))| ≤ (|n| * |k| * 4)

---

Latex:

---

Latex:

1.  k  :  \mBbbZ{}\msupminus{}\msupzero{}
2.  a  :  \mBbbN{}\msupplus{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbZ{}
3.  regular-seq(a)
4.  n  :  \mBbbN{}\msupplus{}
5.  k  <  0
6.  k  \mleq{}  (-2)
7.  (n  *  k)  \mleq{}  (n  *  (-2))
\mvdash{}  |(-((a  ((-k)  *  n))  -  a  ((-k)  *  n)  rem  k))  -  k  *  (a  n)|  \mleq{}  (|k|  *  4)


By

---

Latex:
((D  3  With  \mkleeneopen{}(-k)  *  n\mkleeneclose{}    THENA  Auto)
  THEN  (D  -1  With  \mkleeneopen{}n\mkleeneclose{}    THENA  Auto)
  THEN  (Mul  \mkleeneopen{}|n|\mkleeneclose{}  0\mcdot{}  THENA  Auto)
  THEN  (RWO  "absval\_mul<"  0  THENA  Auto)
  THEN  (GenConcl  \mkleeneopen{}(a  ((-k)  *  n)  rem  k)  =  r\mkleeneclose{}\mcdot{}  THENA  Auto))

---

Home Index