---

Step * 2 1 2 1 1 of Lemma least-upper-bound

.....antecedent..... 
1. [A] : Set(ℝ)
2. a : ℝ
3. a ∈ A
4. bounded-above(A)
5. ∀x,y:ℝ.  ((x < y) ⇒ ((∃a:ℝ. ((a ∈ A) ∧ (x < a))) ∨ A ≤ y))
6. b : ℝ
7. b ∈ closure(A)
8. b ∈ closure(strict-upper-bounds(A))
9. ∀y:ℝ. (y ∈ closure(upper-bounds(A)) ⇒ (upper-bounds(A) y))
⊢ b ∈ closure(upper-bounds(A))
BY
{ (Thin (-1) THEN RepeatFor 4 (ParallelLast)) }

1
1. [A] : Set(ℝ)
2. a : ℝ
3. a ∈ A
4. bounded-above(A)
5. ∀x,y:ℝ.  ((x < y) ⇒ ((∃a:ℝ. ((a ∈ A) ∧ (x < a))) ∨ A ≤ y))
6. b : ℝ
7. b ∈ closure(A)
8. x : ℕ ⟶ ℝ
9. lim n→∞.x[n] = b
10. ∀n:ℕ. (strict-upper-bounds(A) x[n])
11. n : ℕ
12. strict-upper-bounds(A) x[n]
⊢ upper-bounds(A) x[n]

---

Latex:

---

Latex:
.....antecedent..... 
1.  [A]  :  Set(\mBbbR{})
2.  a  :  \mBbbR{}
3.  a  \mmember{}  A
4.  bounded-above(A)
5.  \mforall{}x,y:\mBbbR{}.    ((x  <  y)  {}\mRightarrow{}  ((\mexists{}a:\mBbbR{}.  ((a  \mmember{}  A)  \mwedge{}  (x  <  a)))  \mvee{}  A  \mleq{}  y))
6.  b  :  \mBbbR{}
7.  b  \mmember{}  closure(A)
8.  b  \mmember{}  closure(strict-upper-bounds(A))
9.  \mforall{}y:\mBbbR{}.  (y  \mmember{}  closure(upper-bounds(A))  {}\mRightarrow{}  (upper-bounds(A)  y))
\mvdash{}  b  \mmember{}  closure(upper-bounds(A))


By

---

Latex:
(Thin  (-1)  THEN  RepeatFor  4  (ParallelLast))

---

Home Index