---

Step * 1 of Lemma m-unique-limit


1. X : Type
2. d : metric(X)
3. x : ℕ ⟶ X
4. y1 : X
5. y2 : X
6. ∀k:ℕ+. (∃N:ℕ [(∀n:ℕ. ((N ≤ n) ⇒ (mdist(d;x[n];y2) ≤ (r1/r(k)))))])
7. ∀k:ℕ+. (∃N:ℕ [(∀n:ℕ. ((N ≤ n) ⇒ (mdist(d;x[n];y1) ≤ (r1/r(k)))))])
⊢ (d y1 y2) = r0
BY
{ (BLemma `infinitesmal-difference`
   THEN Auto
   THEN RepeatFor 2 ((InstHyp [⌜2 * k⌝] (-3)⋅ THENA Auto))
   THEN D -2
   THEN D -1
   THEN (Assert mdist(d;x[imax(N;N1)];y2) ≤ (r1/r(2 * k)) BY
               Auto)
   THEN (Assert mdist(d;x[imax(N;N1)];y1) ≤ (r1/r(2 * k)) BY
               Auto)) }

1
1. X : Type
2. d : metric(X)
3. x : ℕ ⟶ X
4. y1 : X
5. y2 : X
6. ∀k:ℕ+. (∃N:ℕ [(∀n:ℕ. ((N ≤ n) ⇒ (mdist(d;x[n];y2) ≤ (r1/r(k)))))])
7. ∀k:ℕ+. (∃N:ℕ [(∀n:ℕ. ((N ≤ n) ⇒ (mdist(d;x[n];y1) ≤ (r1/r(k)))))])
8. k : ℕ+
9. N : ℕ
10. [%7] : ∀n:ℕ. ((N ≤ n) ⇒ (mdist(d;x[n];y2) ≤ (r1/r(2 * k))))
11. N1 : ℕ
12. [%9] : ∀n:ℕ. ((N1 ≤ n) ⇒ (mdist(d;x[n];y1) ≤ (r1/r(2 * k))))
13. mdist(d;x[imax(N;N1)];y2) ≤ (r1/r(2 * k))
14. mdist(d;x[imax(N;N1)];y1) ≤ (r1/r(2 * k))
⊢ |(d y1 y2) - r0| ≤ (r1/r(k))

---

Latex:

---

Latex:

1.  X  :  Type
2.  d  :  metric(X)
3.  x  :  \mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  X
4.  y1  :  X
5.  y2  :  X
6.  \mforall{}k:\mBbbN{}\msupplus{}.  (\mexists{}N:\mBbbN{}  [(\mforall{}n:\mBbbN{}.  ((N  \mleq{}  n)  {}\mRightarrow{}  (mdist(d;x[n];y2)  \mleq{}  (r1/r(k)))))])
7.  \mforall{}k:\mBbbN{}\msupplus{}.  (\mexists{}N:\mBbbN{}  [(\mforall{}n:\mBbbN{}.  ((N  \mleq{}  n)  {}\mRightarrow{}  (mdist(d;x[n];y1)  \mleq{}  (r1/r(k)))))])
\mvdash{}  (d  y1  y2)  =  r0


By

---

Latex:
(BLemma  `infinitesmal-difference`
  THEN  Auto
  THEN  RepeatFor  2  ((InstHyp  [\mkleeneopen{}2  *  k\mkleeneclose{}]  (-3)\mcdot{}  THENA  Auto))
  THEN  D  -2
  THEN  D  -1
  THEN  (Assert  mdist(d;x[imax(N;N1)];y2)  \mleq{}  (r1/r(2  *  k))  BY
                          Auto)
  THEN  (Assert  mdist(d;x[imax(N;N1)];y1)  \mleq{}  (r1/r(2  *  k))  BY
                          Auto))

---

Home Index