---

Step * 1 1 2 of Lemma old-proof-of-real-continuity


1. a : ℝ
2. b : ℝ
3. a ≤ b
4. f : [a, b] ⟶ℝ
5. real-fun(f;a;b)
6. real-sfun(f;a;b)
7. k : ℕ+
8. ∃f@0,g:ℕ ⟶ 𝔹. 4 < |(f cantor-to-interval(a;b;f@0) (4 * k)) - f cantor-to-interval(a;b;g) (4 * k)|
9. a < b
⊢ ∃d:{d:ℝ| r0 < d} . ∀x,y:{x:ℝ| x ∈ [a, b]} .  ((|x - y| ≤ d) ⇒ (|(f x) - f y| ≤ (r1/r(k))))
BY
{ (Thin (-2) THEN Thin (-3) THEN Unfold `real-fun` -3 THEN Thin 3) }

1
1. a : ℝ
2. b : ℝ
3. f : [a, b] ⟶ℝ
4. ∀x,y:{x:ℝ| x ∈ [a, b]} .  ((x = y) ⇒ ((f x) = (f y)))
5. k : ℕ+
6. a < b
⊢ ∃d:{d:ℝ| r0 < d} . ∀x,y:{x:ℝ| x ∈ [a, b]} .  ((|x - y| ≤ d) ⇒ (|(f x) - f y| ≤ (r1/r(k))))

---

Latex:

---

Latex:

1.  a  :  \mBbbR{}
2.  b  :  \mBbbR{}
3.  a  \mleq{}  b
4.  f  :  [a,  b]  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}
5.  real-fun(f;a;b)
6.  real-sfun(f;a;b)
7.  k  :  \mBbbN{}\msupplus{}
8.  \mexists{}f@0,g:\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbB{}
        4  <  |(f  cantor-to-interval(a;b;f@0)  (4  *  k))  -  f  cantor-to-interval(a;b;g)  (4  *  k)|
9.  a  <  b
\mvdash{}  \mexists{}d:\{d:\mBbbR{}|  r0  <  d\}  .  \mforall{}x,y:\{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  [a,  b]\}  .    ((|x  -  y|  \mleq{}  d)  {}\mRightarrow{}  (|(f  x)  -  f  y|  \mleq{}  (r1/r(k))))


By

---

Latex:
(Thin  (-2)  THEN  Thin  (-3)  THEN  Unfold  `real-fun`  -3  THEN  Thin  3)

---

Home Index