---

Step * 1 2 2 1 1 1 1 of Lemma old-proof-of-real-continuity

.....assertion..... 
1. a : ℝ
2. b : ℝ
3. a ≤ b
4. f : [a, b] ⟶ℝ
5. real-fun(f;a;b)
6. real-sfun(f;a;b)
7. k : ℕ+
8. ¬(∃f@0,g:ℕ ⟶ 𝔹. 4 < |(f cantor-to-interval(a;b;f@0) (4 * k)) - f cantor-to-interval(a;b;g) (4 * k)|)
9. ∀h,g:ℕ ⟶ 𝔹.  (|(f cantor-to-interval(a;b;h) (4 * k)) - f cantor-to-interval(a;b;g) (4 * k)| ≤ 4)
10. x : {x:ℝ| x ∈ [a, b]} 
11. y : {x:ℝ| x ∈ [a, b]} 
12. |x - y| ≤ r1
13. ((a ≤ x) ∧ (x ≤ b)) ∧ (a ≤ y) ∧ (y ≤ b)
14. (r1/r(k)) < |(f x) - f y|
⊢ |(f x) - f y| ≤ (r1/r(k))
BY
{ (All (Unfold `real-sfun`) THEN (Assert x ≠ y BY BackThruSomeHyp)) }

1
.....aux..... 
1. a : ℝ
2. b : ℝ
3. a ≤ b
4. f : [a, b] ⟶ℝ
5. real-fun(f;a;b)
6. ∀x,y:{x:ℝ| x ∈ [a, b]} .  (f x ≠ f y ⇒ x ≠ y)
7. k : ℕ+
8. ¬(∃f@0,g:ℕ ⟶ 𝔹. 4 < |(f cantor-to-interval(a;b;f@0) (4 * k)) - f cantor-to-interval(a;b;g) (4 * k)|)
9. ∀h,g:ℕ ⟶ 𝔹.  (|(f cantor-to-interval(a;b;h) (4 * k)) - f cantor-to-interval(a;b;g) (4 * k)| ≤ 4)
10. x : {x:ℝ| x ∈ [a, b]} 
11. y : {x:ℝ| x ∈ [a, b]} 
12. |x - y| ≤ r1
13. ((a ≤ x) ∧ (x ≤ b)) ∧ (a ≤ y) ∧ (y ≤ b)
14. (r1/r(k)) < |(f x) - f y|
⊢ f x ≠ f y

2
1. a : ℝ
2. b : ℝ
3. a ≤ b
4. f : [a, b] ⟶ℝ
5. real-fun(f;a;b)
6. ∀x,y:{x:ℝ| x ∈ [a, b]} .  (f x ≠ f y ⇒ x ≠ y)
7. k : ℕ+
8. ¬(∃f@0,g:ℕ ⟶ 𝔹. 4 < |(f cantor-to-interval(a;b;f@0) (4 * k)) - f cantor-to-interval(a;b;g) (4 * k)|)
9. ∀h,g:ℕ ⟶ 𝔹.  (|(f cantor-to-interval(a;b;h) (4 * k)) - f cantor-to-interval(a;b;g) (4 * k)| ≤ 4)
10. x : {x:ℝ| x ∈ [a, b]} 
11. y : {x:ℝ| x ∈ [a, b]} 
12. |x - y| ≤ r1
13. ((a ≤ x) ∧ (x ≤ b)) ∧ (a ≤ y) ∧ (y ≤ b)
14. (r1/r(k)) < |(f x) - f y|
15. x ≠ y
⊢ |(f x) - f y| ≤ (r1/r(k))

---

Latex:

---

Latex:
.....assertion..... 
1.  a  :  \mBbbR{}
2.  b  :  \mBbbR{}
3.  a  \mleq{}  b
4.  f  :  [a,  b]  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}
5.  real-fun(f;a;b)
6.  real-sfun(f;a;b)
7.  k  :  \mBbbN{}\msupplus{}
8.  \mneg{}(\mexists{}f@0,g:\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbB{}
            4  <  |(f  cantor-to-interval(a;b;f@0)  (4  *  k))  -  f  cantor-to-interval(a;b;g)  (4  *  k)|)
9.  \mforall{}h,g:\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbB{}.    (|(f  cantor-to-interval(a;b;h)  (4  *  k))  -  f  cantor-to-interval(a;b;g)  (4  *  k)|  \mleq{}  4)
10.  x  :  \{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  [a,  b]\} 
11.  y  :  \{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  [a,  b]\} 
12.  |x  -  y|  \mleq{}  r1
13.  ((a  \mleq{}  x)  \mwedge{}  (x  \mleq{}  b))  \mwedge{}  (a  \mleq{}  y)  \mwedge{}  (y  \mleq{}  b)
14.  (r1/r(k))  <  |(f  x)  -  f  y|
\mvdash{}  |(f  x)  -  f  y|  \mleq{}  (r1/r(k))


By

---

Latex:
(All  (Unfold  `real-sfun`)  THEN  (Assert  x  \mneq{}  y  BY  BackThruSomeHyp))

---

Home Index