---

Step * 1 1 3 1 1 1 of Lemma partition-sum_functionality


1. I : Interval
2. icompact(I)
3. p : partition(I)
4. q : ℝ List
5. ||q|| = ||p|| ∈ ℤ
6. ∀i:ℕ||q||. (q[i] = p[i])
7. f : I ⟶ℝ
8. x : partition-choice(full-partition(I;p))
9. ||full-partition(I;q)|| = ||full-partition(I;p)|| ∈ ℤ
10. ∀i:ℕ. ((i ≤ (||full-partition(I;p)|| - 1)) ⇒ (full-partition(I;q)[i] ∈ ℝ))
11. i : ℤ
12. 0 ≤ i
13. i ≤ (||full-partition(I;p)|| - 2)
14. f (x i) ∈ ℝ
15. v : ℝ
16. (f (x i)) = v ∈ ℝ
17. i1 : ℕ
18. ¬i1 - 1 < ||q||
19. i1 ≤ (||full-partition(I;p)|| - 1)
20. ¬(i1 = 0 ∈ ℤ)
⊢ [right-endpoint(I)][i1 - 1 - ||q||] = [right-endpoint(I)][i1 - 1 - ||p||]
BY
{ (Thin 9
   THEN RepUR ``full-partition`` (-2)
   THEN ((Subst' i1 - 1 - ||q|| ~ 0 0 THENA Auto') THEN Reduce 0)
   THEN (Subst' i1 - 1 - ||p|| ~ 0 0 THENA Auto')
   THEN Reduce 0
   THEN Auto) }

---

Latex:

---

Latex:

1.  I  :  Interval
2.  icompact(I)
3.  p  :  partition(I)
4.  q  :  \mBbbR{}  List
5.  ||q||  =  ||p||
6.  \mforall{}i:\mBbbN{}||q||.  (q[i]  =  p[i])
7.  f  :  I  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}
8.  x  :  partition-choice(full-partition(I;p))
9.  ||full-partition(I;q)||  =  ||full-partition(I;p)||
10.  \mforall{}i:\mBbbN{}.  ((i  \mleq{}  (||full-partition(I;p)||  -  1))  {}\mRightarrow{}  (full-partition(I;q)[i]  \mmember{}  \mBbbR{}))
11.  i  :  \mBbbZ{}
12.  0  \mleq{}  i
13.  i  \mleq{}  (||full-partition(I;p)||  -  2)
14.  f  (x  i)  \mmember{}  \mBbbR{}
15.  v  :  \mBbbR{}
16.  (f  (x  i))  =  v
17.  i1  :  \mBbbN{}
18.  \mneg{}i1  -  1  <  ||q||
19.  i1  \mleq{}  (||full-partition(I;p)||  -  1)
20.  \mneg{}(i1  =  0)
\mvdash{}  [right-endpoint(I)][i1  -  1  -  ||q||]  =  [right-endpoint(I)][i1  -  1  -  ||p||]


By

---

Latex:
(Thin  9
  THEN  RepUR  ``full-partition``  (-2)
  THEN  ((Subst'  i1  -  1  -  ||q||  \msim{}  0  0  THENA  Auto')  THEN  Reduce  0)
  THEN  (Subst'  i1  -  1  -  ||p||  \msim{}  0  0  THENA  Auto')
  THEN  Reduce  0
  THEN  Auto)

---

Home Index