---

Step * 2 of Lemma proper-continuous-implies-functional


1. I : Interval
2. f : I ⟶ℝ
3. f[x] (proper)continuous for x ∈ I
4. iproper(I)
5. a : {x:ℝ| x ∈ I} 
6. b : {x:ℝ| x ∈ I} 
7. a = b
8. ∃m:ℕ+. (icompact(i-approx(I;m)) ∧ iproper(i-approx(I;m)) ∧ (a ∈ i-approx(I;m)))
⊢ f[a] = f[b]
BY
{ ((D -1 THEN D 3 With ⌜m⌝ ) THENA Auto) }

1
1. I : Interval
2. f : I ⟶ℝ
3. iproper(I)
4. a : {x:ℝ| x ∈ I} 
5. b : {x:ℝ| x ∈ I} 
6. a = b
7. m : ℕ+
8. icompact(i-approx(I;m)) ∧ iproper(i-approx(I;m)) ∧ (a ∈ i-approx(I;m))
9. ∀n:ℕ+
     (∃d:ℝ [((r0 < d)
           ∧ (∀x,y:ℝ.  ((x ∈ i-approx(I;m)) ⇒ (y ∈ i-approx(I;m)) ⇒ (|x - y| ≤ d) ⇒ (|f[x] - f[y]| ≤ (r1/r(n))))))])
⊢ f[a] = f[b]

---

Latex:

---

Latex:

1.  I  :  Interval
2.  f  :  I  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}
3.  f[x]  (proper)continuous  for  x  \mmember{}  I
4.  iproper(I)
5.  a  :  \{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  I\} 
6.  b  :  \{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  I\} 
7.  a  =  b
8.  \mexists{}m:\mBbbN{}\msupplus{}.  (icompact(i-approx(I;m))  \mwedge{}  iproper(i-approx(I;m))  \mwedge{}  (a  \mmember{}  i-approx(I;m)))
\mvdash{}  f[a]  =  f[b]


By

---

Latex:
((D  -1  THEN  D  3  With  \mkleeneopen{}m\mkleeneclose{}  )  THENA  Auto)

---

Home Index