---

Step * 1 1 of Lemma rational-IVT

.....assertion..... 
1. a : ℝ
2. b : ℝ
3. f : (ℤ × ℕ+) ⟶ (ℤ × ℕ+)
4. [g] : {x:ℝ| x ∈ [a, b]}  ⟶ ℝ
5. [%] : (a < b)
∧ ((g[a] * g[b]) < r0)
∧ (∀x,y:{x:ℝ| x ∈ [a, b]} .  ((x = y) ⇒ (g[x] = g[y])))
∧ (∀r:ℤ × ℕ+. ((ratreal(r) ∈ [a, b]) ⇒ (g[ratreal(r)] = ratreal(f[r]))))
⊢ ∃ra,rb:ℤ × ℕ+
   ((a ≤ ratreal(ra)) ∧ (ratreal(ra) ≤ ratreal(rb)) ∧ (ratreal(rb) ≤ b) ∧ (ratreal(ratmul(f[ra];f[rb])) < r0))
BY
{ ((Assert ∀n:ℕ+. (ratreal(<(a (2 * n)) + 2, 4 * n>) = above a within 1/n) BY
          ((D 0 THENA Auto)
           THEN (RWO  "ratreal-req" 0 THENA Auto)
           THEN (Unfold `rational-upper-approx` 0 THEN RepeatFor 2 ((CallByValueReduce 0 THEN Auto)))
           THEN (RWO "int-rdiv-req" 0 THENA Auto)
           THEN BLemma  `rdiv_functionality`
           THEN Auto))
   THEN (Assert ∀n:ℕ+. (ratreal(<(b (2 * n)) - 2, 4 * n>) = (below b within 1/n)) BY
               ((D 0 THENA Auto)
                THEN (RWO  "ratreal-req" 0 THENA Auto)
                THEN (Unfold `rational-lower-approx` 0 THEN RepeatFor 2 ((CallByValueReduce 0 THEN Auto)))
                THEN (RWO "int-rdiv-req" 0 THENA Auto)
                THEN BLemma  `rdiv_functionality`
                THEN Auto))
   ) }

1
1. a : ℝ
2. b : ℝ
3. f : (ℤ × ℕ+) ⟶ (ℤ × ℕ+)
4. [g] : {x:ℝ| x ∈ [a, b]}  ⟶ ℝ
5. [%] : (a < b)
∧ ((g[a] * g[b]) < r0)
∧ (∀x,y:{x:ℝ| x ∈ [a, b]} .  ((x = y) ⇒ (g[x] = g[y])))
∧ (∀r:ℤ × ℕ+. ((ratreal(r) ∈ [a, b]) ⇒ (g[ratreal(r)] = ratreal(f[r]))))
6. ∀n:ℕ+. (ratreal(<(a (2 * n)) + 2, 4 * n>) = above a within 1/n)
7. ∀n:ℕ+. (ratreal(<(b (2 * n)) - 2, 4 * n>) = (below b within 1/n))
⊢ ∃ra,rb:ℤ × ℕ+
   ((a ≤ ratreal(ra)) ∧ (ratreal(ra) ≤ ratreal(rb)) ∧ (ratreal(rb) ≤ b) ∧ (ratreal(ratmul(f[ra];f[rb])) < r0))

---

Latex:

---

Latex:
.....assertion..... 
1.  a  :  \mBbbR{}
2.  b  :  \mBbbR{}
3.  f  :  (\mBbbZ{}  \mtimes{}  \mBbbN{}\msupplus{})  {}\mrightarrow{}  (\mBbbZ{}  \mtimes{}  \mBbbN{}\msupplus{})
4.  [g]  :  \{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  [a,  b]\}    {}\mrightarrow{}  \mBbbR{}
5.  [\%]  :  (a  <  b)
\mwedge{}  ((g[a]  *  g[b])  <  r0)
\mwedge{}  (\mforall{}x,y:\{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  [a,  b]\}  .    ((x  =  y)  {}\mRightarrow{}  (g[x]  =  g[y])))
\mwedge{}  (\mforall{}r:\mBbbZ{}  \mtimes{}  \mBbbN{}\msupplus{}.  ((ratreal(r)  \mmember{}  [a,  b])  {}\mRightarrow{}  (g[ratreal(r)]  =  ratreal(f[r]))))
\mvdash{}  \mexists{}ra,rb:\mBbbZ{}  \mtimes{}  \mBbbN{}\msupplus{}
      ((a  \mleq{}  ratreal(ra))
      \mwedge{}  (ratreal(ra)  \mleq{}  ratreal(rb))
      \mwedge{}  (ratreal(rb)  \mleq{}  b)
      \mwedge{}  (ratreal(ratmul(f[ra];f[rb]))  <  r0))


By

---

Latex:
((Assert  \mforall{}n:\mBbbN{}\msupplus{}.  (ratreal(<(a  (2  *  n))  +  2,  4  *  n>)  =  above  a  within  1/n)  BY
                ((D  0  THENA  Auto)
                  THEN  (RWO    "ratreal-req"  0  THENA  Auto)
                  THEN  (Unfold  `rational-upper-approx`  0  THEN  RepeatFor  2  ((CallByValueReduce  0  THEN  Auto)))
                  THEN  (RWO  "int-rdiv-req"  0  THENA  Auto)
                  THEN  BLemma    `rdiv\_functionality`
                  THEN  Auto))
  THEN  (Assert  \mforall{}n:\mBbbN{}\msupplus{}.  (ratreal(<(b  (2  *  n))  -  2,  4  *  n>)  =  (below  b  within  1/n))  BY
                          ((D  0  THENA  Auto)
                            THEN  (RWO    "ratreal-req"  0  THENA  Auto)
                            THEN  (Unfold  `rational-lower-approx`  0
                                        THEN  RepeatFor  2  ((CallByValueReduce  0  THEN  Auto))
                                        )
                            THEN  (RWO  "int-rdiv-req"  0  THENA  Auto)
                            THEN  BLemma    `rdiv\_functionality`
                            THEN  Auto))
  )

---

Home Index