---

Step * 2 of Lemma rmul-limit


1. x : ℕ ⟶ ℝ
2. y : ℕ ⟶ ℝ
3. a : ℝ
4. b : ℝ
5. ∀k:ℕ+. (∃N:{ℕ| (∀n:ℕ. ((N ≤ n) ⇒ (|x[n] - a| ≤ (r1/r(k)))))})
6. ∀k:ℕ+. (∃N:{ℕ| (∀n:ℕ. ((N ≤ n) ⇒ (|y[n] - b| ≤ (r1/r(k)))))})
7. ∃m:ℕ+. ((|b| ≤ r(m)) ∧ (∀n:ℕ. (|x[n]| ≤ r(m))))
⊢ ∀k:ℕ+. (∃N:{ℕ| (∀n:ℕ. ((N ≤ n) ⇒ (|(x[n] * y[n]) - a * b| ≤ (r1/r(k)))))})
BY
{ (Auto
   THEN ExRepD
   THEN ∀h:hyp. ((InstHyp
                  [⌜2 * m * k⌝] h)⋅
                 THENA (Auto THEN RepeatFor 2 ((BLemma `pos_mul_arg_bounds` THEN Auto THEN OrLeft THEN Auto)))
                 ) ) }

1
1. x : ℕ ⟶ ℝ
2. y : ℕ ⟶ ℝ
3. a : ℝ
4. b : ℝ
5. ∀k:ℕ+. (∃N:{ℕ| (∀n:ℕ. ((N ≤ n) ⇒ (|x[n] - a| ≤ (r1/r(k)))))})
6. ∀k:ℕ+. (∃N:{ℕ| (∀n:ℕ. ((N ≤ n) ⇒ (|y[n] - b| ≤ (r1/r(k)))))})
7. m : ℕ+
8. |b| ≤ r(m)
9. ∀n:ℕ. (|x[n]| ≤ r(m))
10. k : ℕ+
11. |x[2 * m * k]| ≤ r(m)
12. ∃N:{ℕ| (∀n:ℕ. ((N ≤ n) ⇒ (|y[n] - b| ≤ (r1/r(2 * m * k)))))}
13. ∃N:{ℕ| (∀n:ℕ. ((N ≤ n) ⇒ (|x[n] - a| ≤ (r1/r(2 * m * k)))))}
⊢ ∃N:{ℕ| (∀n:ℕ. ((N ≤ n) ⇒ (|(x[n] * y[n]) - a * b| ≤ (r1/r(k)))))}

---

Latex:

---

Latex:

1.  x  :  \mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbR{}
2.  y  :  \mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbR{}
3.  a  :  \mBbbR{}
4.  b  :  \mBbbR{}
5.  \mforall{}k:\mBbbN{}\msupplus{}.  (\mexists{}N:\{\mBbbN{}|  (\mforall{}n:\mBbbN{}.  ((N  \mleq{}  n)  {}\mRightarrow{}  (|x[n]  -  a|  \mleq{}  (r1/r(k)))))\})
6.  \mforall{}k:\mBbbN{}\msupplus{}.  (\mexists{}N:\{\mBbbN{}|  (\mforall{}n:\mBbbN{}.  ((N  \mleq{}  n)  {}\mRightarrow{}  (|y[n]  -  b|  \mleq{}  (r1/r(k)))))\})
7.  \mexists{}m:\mBbbN{}\msupplus{}.  ((|b|  \mleq{}  r(m))  \mwedge{}  (\mforall{}n:\mBbbN{}.  (|x[n]|  \mleq{}  r(m))))
\mvdash{}  \mforall{}k:\mBbbN{}\msupplus{}.  (\mexists{}N:\{\mBbbN{}|  (\mforall{}n:\mBbbN{}.  ((N  \mleq{}  n)  {}\mRightarrow{}  (|(x[n]  *  y[n])  -  a  *  b|  \mleq{}  (r1/r(k)))))\})


By

---

Latex:
(Auto
  THEN  ExRepD
  THEN  \mforall{}h:hyp.  ((InstHyp
                                [\mkleeneopen{}2  *  m  *  k\mkleeneclose{}]  h)\mcdot{}
                              THENA  (Auto
                                            THEN  RepeatFor  2  ((BLemma  `pos\_mul\_arg\_bounds`
                                                                                  THEN  Auto
                                                                                  THEN  OrLeft
                                                                                  THEN  Auto))
                                            )
                              )  )

---

Home Index