---

Step * 2 1 of Lemma rmul-limit


1. x : ℕ ⟶ ℝ
2. y : ℕ ⟶ ℝ
3. a : ℝ
4. b : ℝ
5. ∀k:ℕ+. (∃N:{ℕ| (∀n:ℕ. ((N ≤ n) ⇒ (|x[n] - a| ≤ (r1/r(k)))))})
6. ∀k:ℕ+. (∃N:{ℕ| (∀n:ℕ. ((N ≤ n) ⇒ (|y[n] - b| ≤ (r1/r(k)))))})
7. m : ℕ+
8. |b| ≤ r(m)
9. ∀n:ℕ. (|x[n]| ≤ r(m))
10. k : ℕ+
11. |x[2 * m * k]| ≤ r(m)
12. ∃N:{ℕ| (∀n:ℕ. ((N ≤ n) ⇒ (|y[n] - b| ≤ (r1/r(2 * m * k)))))}
13. ∃N:{ℕ| (∀n:ℕ. ((N ≤ n) ⇒ (|x[n] - a| ≤ (r1/r(2 * m * k)))))}
⊢ ∃N:{ℕ| (∀n:ℕ. ((N ≤ n) ⇒ (|(x[n] * y[n]) - a * b| ≤ (r1/r(k)))))}
BY
{ ((All (Fold `sq-all-large`)) THEN ((FLemma`sq-all-large-and` [-1; -2]) THENA Auto)) }

1
1. x : ℕ ⟶ ℝ
2. y : ℕ ⟶ ℝ
3. a : ℝ
4. b : ℝ
5. ∀k:ℕ+. ∀large(n).{|x[n] - a| ≤ (r1/r(k))}
6. ∀k:ℕ+. ∀large(n).{|y[n] - b| ≤ (r1/r(k))}
7. m : ℕ+
8. |b| ≤ r(m)
9. ∀n:ℕ. (|x[n]| ≤ r(m))
10. k : ℕ+
11. |x[2 * m * k]| ≤ r(m)
12. ∀large(n).{|y[n] - b| ≤ (r1/r(2 * m * k))}
13. ∀large(n).{|x[n] - a| ≤ (r1/r(2 * m * k))}
14. ∀large(n).{(|x[n] - a| ≤ (r1/r(2 * m * k))) ∧ (|y[n] - b| ≤ (r1/r(2 * m * k)))}
⊢ ∀large(n).{|(x[n] * y[n]) - a * b| ≤ (r1/r(k))}

---

Latex:

---

Latex:

1.  x  :  \mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbR{}
2.  y  :  \mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbR{}
3.  a  :  \mBbbR{}
4.  b  :  \mBbbR{}
5.  \mforall{}k:\mBbbN{}\msupplus{}.  (\mexists{}N:\{\mBbbN{}|  (\mforall{}n:\mBbbN{}.  ((N  \mleq{}  n)  {}\mRightarrow{}  (|x[n]  -  a|  \mleq{}  (r1/r(k)))))\})
6.  \mforall{}k:\mBbbN{}\msupplus{}.  (\mexists{}N:\{\mBbbN{}|  (\mforall{}n:\mBbbN{}.  ((N  \mleq{}  n)  {}\mRightarrow{}  (|y[n]  -  b|  \mleq{}  (r1/r(k)))))\})
7.  m  :  \mBbbN{}\msupplus{}
8.  |b|  \mleq{}  r(m)
9.  \mforall{}n:\mBbbN{}.  (|x[n]|  \mleq{}  r(m))
10.  k  :  \mBbbN{}\msupplus{}
11.  |x[2  *  m  *  k]|  \mleq{}  r(m)
12.  \mexists{}N:\{\mBbbN{}|  (\mforall{}n:\mBbbN{}.  ((N  \mleq{}  n)  {}\mRightarrow{}  (|y[n]  -  b|  \mleq{}  (r1/r(2  *  m  *  k)))))\}
13.  \mexists{}N:\{\mBbbN{}|  (\mforall{}n:\mBbbN{}.  ((N  \mleq{}  n)  {}\mRightarrow{}  (|x[n]  -  a|  \mleq{}  (r1/r(2  *  m  *  k)))))\}
\mvdash{}  \mexists{}N:\{\mBbbN{}|  (\mforall{}n:\mBbbN{}.  ((N  \mleq{}  n)  {}\mRightarrow{}  (|(x[n]  *  y[n])  -  a  *  b|  \mleq{}  (r1/r(k)))))\}


By

---

Latex:
((All  (Fold  `sq-all-large`))  THEN  ((FLemma`sq-all-large-and`  [-1;  -2])  THENA  Auto))

---

Home Index