---

Step * 2 1 2 1 1 of Lemma rpolynomial-composition1


1. n : ℤ
2. 0 < n
3. ∀a:ℕ(n - 1) + 1 ⟶ ℝ. ∀b,c,d:ℝ.
     ∃a':ℕ(n - 1) + 1 ⟶ ℝ. ∀x:ℝ. (Σ{(a' i) * x^i | 0≤i≤n - 1} = (Σ{(a i) * ((c - b) * x) + b^i | 0≤i≤n - 1} - d))
4. a : ℕn + 1 ⟶ ℝ
5. b : ℝ
6. c : ℝ
7. d : ℝ
8. a1 : ℕ(n - 1) + 1 ⟶ ℝ
9. ∀x:ℝ. (Σ{(a1 i) * x^i | 0≤i≤n - 1} = (Σ{(a i) * ((c - b) * x) + b^i | 0≤i≤n - 1} - d))
10. a' : ℕn + 1 ⟶ ℝ
11. ∀x:ℝ. (Σ{(a' i) * x^i | 0≤i≤n} = ((a n) * ((c - b) * x) + b^n))
12. x : ℝ
⊢ (Σ{if (i =z n) then a' n else (a' i) + (a1 i) fi  * x^i | 0≤i≤n - 1}
+ (if (n =z n) then a' n else (a' n) + (a1 n) fi  * x^n))
= ((Σ{(a i) * ((c - b) * x) + b^i | 0≤i≤n - 1} + ((a n) * ((c - b) * x) + b^n)) - d)
BY
{ Assert ⌜Σ{if (i =z n) then a' n else (a' i) + (a1 i) fi  * x^i | 0≤i≤n - 1}
          = (Σ{(a' i) * x^i | 0≤i≤n - 1} + Σ{(a1 i) * x^i | 0≤i≤n - 1})⌝⋅ }

1
.....assertion..... 
1. n : ℤ
2. 0 < n
3. ∀a:ℕ(n - 1) + 1 ⟶ ℝ. ∀b,c,d:ℝ.
     ∃a':ℕ(n - 1) + 1 ⟶ ℝ. ∀x:ℝ. (Σ{(a' i) * x^i | 0≤i≤n - 1} = (Σ{(a i) * ((c - b) * x) + b^i | 0≤i≤n - 1} - d))
4. a : ℕn + 1 ⟶ ℝ
5. b : ℝ
6. c : ℝ
7. d : ℝ
8. a1 : ℕ(n - 1) + 1 ⟶ ℝ
9. ∀x:ℝ. (Σ{(a1 i) * x^i | 0≤i≤n - 1} = (Σ{(a i) * ((c - b) * x) + b^i | 0≤i≤n - 1} - d))
10. a' : ℕn + 1 ⟶ ℝ
11. ∀x:ℝ. (Σ{(a' i) * x^i | 0≤i≤n} = ((a n) * ((c - b) * x) + b^n))
12. x : ℝ
⊢ Σ{if (i =z n) then a' n else (a' i) + (a1 i) fi  * x^i | 0≤i≤n - 1}
= (Σ{(a' i) * x^i | 0≤i≤n - 1} + Σ{(a1 i) * x^i | 0≤i≤n - 1})

2
1. n : ℤ
2. 0 < n
3. ∀a:ℕ(n - 1) + 1 ⟶ ℝ. ∀b,c,d:ℝ.
     ∃a':ℕ(n - 1) + 1 ⟶ ℝ. ∀x:ℝ. (Σ{(a' i) * x^i | 0≤i≤n - 1} = (Σ{(a i) * ((c - b) * x) + b^i | 0≤i≤n - 1} - d))
4. a : ℕn + 1 ⟶ ℝ
5. b : ℝ
6. c : ℝ
7. d : ℝ
8. a1 : ℕ(n - 1) + 1 ⟶ ℝ
9. ∀x:ℝ. (Σ{(a1 i) * x^i | 0≤i≤n - 1} = (Σ{(a i) * ((c - b) * x) + b^i | 0≤i≤n - 1} - d))
10. a' : ℕn + 1 ⟶ ℝ
11. ∀x:ℝ. (Σ{(a' i) * x^i | 0≤i≤n} = ((a n) * ((c - b) * x) + b^n))
12. x : ℝ
13. Σ{if (i =z n) then a' n else (a' i) + (a1 i) fi  * x^i | 0≤i≤n - 1}
= (Σ{(a' i) * x^i | 0≤i≤n - 1} + Σ{(a1 i) * x^i | 0≤i≤n - 1})
⊢ (Σ{if (i =z n) then a' n else (a' i) + (a1 i) fi  * x^i | 0≤i≤n - 1}
+ (if (n =z n) then a' n else (a' n) + (a1 n) fi  * x^n))
= ((Σ{(a i) * ((c - b) * x) + b^i | 0≤i≤n - 1} + ((a n) * ((c - b) * x) + b^n)) - d)

---

Latex:

---

Latex:

1.  n  :  \mBbbZ{}
2.  0  <  n
3.  \mforall{}a:\mBbbN{}(n  -  1)  +  1  {}\mrightarrow{}  \mBbbR{}.  \mforall{}b,c,d:\mBbbR{}.
          \mexists{}a':\mBbbN{}(n  -  1)  +  1  {}\mrightarrow{}  \mBbbR{}
            \mforall{}x:\mBbbR{}.  (\mSigma{}\{(a'  i)  *  x\^{}i  |  0\mleq{}i\mleq{}n  -  1\}  =  (\mSigma{}\{(a  i)  *  ((c  -  b)  *  x)  +  b\^{}i  |  0\mleq{}i\mleq{}n  -  1\}  -  d))
4.  a  :  \mBbbN{}n  +  1  {}\mrightarrow{}  \mBbbR{}
5.  b  :  \mBbbR{}
6.  c  :  \mBbbR{}
7.  d  :  \mBbbR{}
8.  a1  :  \mBbbN{}(n  -  1)  +  1  {}\mrightarrow{}  \mBbbR{}
9.  \mforall{}x:\mBbbR{}.  (\mSigma{}\{(a1  i)  *  x\^{}i  |  0\mleq{}i\mleq{}n  -  1\}  =  (\mSigma{}\{(a  i)  *  ((c  -  b)  *  x)  +  b\^{}i  |  0\mleq{}i\mleq{}n  -  1\}  -  d))
10.  a'  :  \mBbbN{}n  +  1  {}\mrightarrow{}  \mBbbR{}
11.  \mforall{}x:\mBbbR{}.  (\mSigma{}\{(a'  i)  *  x\^{}i  |  0\mleq{}i\mleq{}n\}  =  ((a  n)  *  ((c  -  b)  *  x)  +  b\^{}n))
12.  x  :  \mBbbR{}
\mvdash{}  (\mSigma{}\{if  (i  =\msubz{}  n)  then  a'  n  else  (a'  i)  +  (a1  i)  fi    *  x\^{}i  |  0\mleq{}i\mleq{}n  -  1\}
+  (if  (n  =\msubz{}  n)  then  a'  n  else  (a'  n)  +  (a1  n)  fi    *  x\^{}n))
=  ((\mSigma{}\{(a  i)  *  ((c  -  b)  *  x)  +  b\^{}i  |  0\mleq{}i\mleq{}n  -  1\}  +  ((a  n)  *  ((c  -  b)  *  x)  +  b\^{}n))  -  d)


By

---

Latex:
Assert  \mkleeneopen{}\mSigma{}\{if  (i  =\msubz{}  n)  then  a'  n  else  (a'  i)  +  (a1  i)  fi    *  x\^{}i  |  0\mleq{}i\mleq{}n  -  1\}
                =  (\mSigma{}\{(a'  i)  *  x\^{}i  |  0\mleq{}i\mleq{}n  -  1\}  +  \mSigma{}\{(a1  i)  *  x\^{}i  |  0\mleq{}i\mleq{}n  -  1\})\mkleeneclose{}\mcdot{}

---

Home Index