---

Step * 1 2 1 1 1 1 1 of Lemma rv-circle-circle-lemma2'


1. r1 : {r:ℝ| r0 ≤ r} 
2. r2 : {r:ℝ| r0 ≤ r} 
3. b : ℝ^2
4. r0 < ||b||
5. b' : ℝ^2
6. (λk.if (k =z 1) then -(b 0) else b 1 fi ) = b' ∈ ℝ^2
7. b⋅b' = r0
8. ||b'|| = ||b||
9. (r1^2 - r2^2) + ||b||^2^2 ≤ (r(4) * ||b||^2 * r1^2)
10. cc : ℝ
11. ((r1^2 - r2^2) + ||b||^2) = cc ∈ ℝ
12. r0 ≤ ((||b||^2 * r1^2) - (cc/r(2))^2)
13. r0 < ||b||^2
14. v : {r:ℝ| (r0 ≤ r) ∧ ((r * r) = ((||b||^2 * r1^2) - (cc/r(2))^2))} 
15. rsqrt((||b||^2 * r1^2) - (cc/r(2))^2) = v ∈ {r:ℝ| (r0 ≤ r) ∧ ((r * r) = ((||b||^2 * r1^2) - (cc/r(2))^2))} 
16. ∀x:ℝ^2
      ((req-vec(2;x;(r1/||b||^2)*(cc/r(2))*b + v*b') ∨ req-vec(2;x;(r1/||b||^2)*(cc/r(2))*b - v*b'))
      ⇒ ((||x|| = r1) ∧ (||x - b|| = r2)))
17. ||(r1/||b||^2)*(cc/r(2))*b + v*b'|| = r1
18. ||(r1/||b||^2)*(cc/r(2))*b + v*b' - b|| = r2
19. ||(r1/||b||^2)*(cc/r(2))*b - v*b'|| = r1
20. ||(r1/||b||^2)*(cc/r(2))*b - v*b' - b|| = r2
21. cc^2 < (r(4) * ||b||^2 * r1^2)
22. (r0 ≤ v) ∧ ((v * v) = ((||b||^2 * r1^2) - (cc/r(2))^2))
⊢ r0^2 < v^2
BY
{ (D -1 THEN (RWO "rnexp2<" (-1) THENA Auto) THEN (RWO "-1" 0 THENA Auto)) }

1
1. r1 : {r:ℝ| r0 ≤ r} 
2. r2 : {r:ℝ| r0 ≤ r} 
3. b : ℝ^2
4. r0 < ||b||
5. b' : ℝ^2
6. (λk.if (k =z 1) then -(b 0) else b 1 fi ) = b' ∈ ℝ^2
7. b⋅b' = r0
8. ||b'|| = ||b||
9. (r1^2 - r2^2) + ||b||^2^2 ≤ (r(4) * ||b||^2 * r1^2)
10. cc : ℝ
11. ((r1^2 - r2^2) + ||b||^2) = cc ∈ ℝ
12. r0 ≤ ((||b||^2 * r1^2) - (cc/r(2))^2)
13. r0 < ||b||^2
14. v : {r:ℝ| (r0 ≤ r) ∧ ((r * r) = ((||b||^2 * r1^2) - (cc/r(2))^2))} 
15. rsqrt((||b||^2 * r1^2) - (cc/r(2))^2) = v ∈ {r:ℝ| (r0 ≤ r) ∧ ((r * r) = ((||b||^2 * r1^2) - (cc/r(2))^2))} 
16. ∀x:ℝ^2
      ((req-vec(2;x;(r1/||b||^2)*(cc/r(2))*b + v*b') ∨ req-vec(2;x;(r1/||b||^2)*(cc/r(2))*b - v*b'))
      ⇒ ((||x|| = r1) ∧ (||x - b|| = r2)))
17. ||(r1/||b||^2)*(cc/r(2))*b + v*b'|| = r1
18. ||(r1/||b||^2)*(cc/r(2))*b + v*b' - b|| = r2
19. ||(r1/||b||^2)*(cc/r(2))*b - v*b'|| = r1
20. ||(r1/||b||^2)*(cc/r(2))*b - v*b' - b|| = r2
21. cc^2 < (r(4) * ||b||^2 * r1^2)
22. r0 ≤ v
23. v^2 = ((||b||^2 * r1^2) - (cc/r(2))^2)
⊢ r0^2 < ((||b||^2 * r1^2) - (cc/r(2))^2)

---

Latex:

---

Latex:

1.  r1  :  \{r:\mBbbR{}|  r0  \mleq{}  r\} 
2.  r2  :  \{r:\mBbbR{}|  r0  \mleq{}  r\} 
3.  b  :  \mBbbR{}\^{}2
4.  r0  <  ||b||
5.  b'  :  \mBbbR{}\^{}2
6.  (\mlambda{}k.if  (k  =\msubz{}  1)  then  -(b  0)  else  b  1  fi  )  =  b'
7.  b\mcdot{}b'  =  r0
8.  ||b'||  =  ||b||
9.  (r1\^{}2  -  r2\^{}2)  +  ||b||\^{}2\^{}2  \mleq{}  (r(4)  *  ||b||\^{}2  *  r1\^{}2)
10.  cc  :  \mBbbR{}
11.  ((r1\^{}2  -  r2\^{}2)  +  ||b||\^{}2)  =  cc
12.  r0  \mleq{}  ((||b||\^{}2  *  r1\^{}2)  -  (cc/r(2))\^{}2)
13.  r0  <  ||b||\^{}2
14.  v  :  \{r:\mBbbR{}|  (r0  \mleq{}  r)  \mwedge{}  ((r  *  r)  =  ((||b||\^{}2  *  r1\^{}2)  -  (cc/r(2))\^{}2))\} 
15.  rsqrt((||b||\^{}2  *  r1\^{}2)  -  (cc/r(2))\^{}2)  =  v
16.  \mforall{}x:\mBbbR{}\^{}2
            ((req-vec(2;x;(r1/||b||\^{}2)*(cc/r(2))*b  +  v*b')  \mvee{}  req-vec(2;x;(r1/||b||\^{}2)*(cc/r(2))*b  -  v*b'))
            {}\mRightarrow{}  ((||x||  =  r1)  \mwedge{}  (||x  -  b||  =  r2)))
17.  ||(r1/||b||\^{}2)*(cc/r(2))*b  +  v*b'||  =  r1
18.  ||(r1/||b||\^{}2)*(cc/r(2))*b  +  v*b'  -  b||  =  r2
19.  ||(r1/||b||\^{}2)*(cc/r(2))*b  -  v*b'||  =  r1
20.  ||(r1/||b||\^{}2)*(cc/r(2))*b  -  v*b'  -  b||  =  r2
21.  cc\^{}2  <  (r(4)  *  ||b||\^{}2  *  r1\^{}2)
22.  (r0  \mleq{}  v)  \mwedge{}  ((v  *  v)  =  ((||b||\^{}2  *  r1\^{}2)  -  (cc/r(2))\^{}2))
\mvdash{}  r0\^{}2  <  v\^{}2


By

---

Latex:
(D  -1  THEN  (RWO  "rnexp2<"  (-1)  THENA  Auto)  THEN  (RWO  "-1"  0  THENA  Auto))

---

Home Index