---

Step * 1 2 of Lemma rv-circle-circle-lemma2


1. n : {2...}
2. r1 : {r:ℝ| r0 ≤ r} 
3. r2 : {r:ℝ| r0 ≤ r} 
4. b : ℝ^n
5. r0 < ||b||
6. ∀b':ℝ^n
     ((b⋅b' = r0)
     ⇒ (||b'|| = ||b||)
     ⇒ ((r1^2 - r2^2) + ||b||^2^2 ≤ (r(4) * ||b||^2 * r1^2))
     ⇒ let c = ((r1^2 - r2^2) + ||b||^2/r(2)) in
         let d = (||b||^2 * r1^2) - c^2 in
         ∀x:ℝ^n
           ((req-vec(n;x;(r1/||b||^2)*c*b + rsqrt(d)*b') ∨ req-vec(n;x;(r1/||b||^2)*c*b - rsqrt(d)*b'))
           ⇒ ((||x|| = r1) ∧ (||x - b|| = r2))))
7. ∃b':ℝ^n. ((b⋅b' = r0) ∧ (||b'|| = ||b||))
⊢ ((r1^2 - r2^2) + ||b||^2^2 ≤ (r(4) * ||b||^2 * r1^2))
⇒ (∃u,v:ℝ^n
     (((||u|| = r1) ∧ (||u - b|| = r2))
     ∧ ((||v|| = r1) ∧ (||v - b|| = r2))
     ∧ (((r1^2 - r2^2) + ||b||^2^2 < (r(4) * ||b||^2 * r1^2)) ⇒ u ≠ v)))
BY
{ ((ExRepD THENA Auto)
   THEN (InstHyp [⌜b'⌝] 6⋅ THENA Auto)
   THEN Thin 6
   THEN MoveToConcl (-1)
   THEN (GenConcl ⌜((r1^2 - r2^2) + ||b||^2) = cc ∈ ℝ⌝⋅ THENA Auto)
   THEN (Assert r0 ≤ ((||b||^2 * r1^2) - (cc/r(2))^2) BY
               (nRAdd ⌜(cc/r(2))^2⌝ 0⋅
                THEN (Assert r(2)^2 = r(4) BY
                            (RWO "rnexp-int" 0 THEN Auto))
                THEN (Assert r0 < r(2)^2 BY
                            (RWO "-1" 0 THEN Auto))
                THEN (RWW "rnexp-rdiv< -2" 0 THENA Auto)
                THEN nRMul ⌜r(4)⌝ 0⋅
                THEN Auto))) }

1
1. n : {2...}
2. r1 : {r:ℝ| r0 ≤ r} 
3. r2 : {r:ℝ| r0 ≤ r} 
4. b : ℝ^n
5. r0 < ||b||
6. b' : ℝ^n
7. b⋅b' = r0
8. ||b'|| = ||b||
9. (r1^2 - r2^2) + ||b||^2^2 ≤ (r(4) * ||b||^2 * r1^2)
10. cc : ℝ
11. ((r1^2 - r2^2) + ||b||^2) = cc ∈ ℝ
12. r0 ≤ ((||b||^2 * r1^2) - (cc/r(2))^2)
⊢ let c = (cc/r(2)) in
   let d = (||b||^2 * r1^2) - c^2 in
   ∀x:ℝ^n
     ((req-vec(n;x;(r1/||b||^2)*c*b + rsqrt(d)*b') ∨ req-vec(n;x;(r1/||b||^2)*c*b - rsqrt(d)*b'))
     ⇒ ((||x|| = r1) ∧ (||x - b|| = r2)))
⇒ (∃u,v:ℝ^n
     (((||u|| = r1) ∧ (||u - b|| = r2))
     ∧ ((||v|| = r1) ∧ (||v - b|| = r2))
     ∧ ((cc^2 < (r(4) * ||b||^2 * r1^2)) ⇒ u ≠ v)))

---

Latex:

---

Latex:

1.  n  :  \{2...\}
2.  r1  :  \{r:\mBbbR{}|  r0  \mleq{}  r\} 
3.  r2  :  \{r:\mBbbR{}|  r0  \mleq{}  r\} 
4.  b  :  \mBbbR{}\^{}n
5.  r0  <  ||b||
6.  \mforall{}b':\mBbbR{}\^{}n
          ((b\mcdot{}b'  =  r0)
          {}\mRightarrow{}  (||b'||  =  ||b||)
          {}\mRightarrow{}  ((r1\^{}2  -  r2\^{}2)  +  ||b||\^{}2\^{}2  \mleq{}  (r(4)  *  ||b||\^{}2  *  r1\^{}2))
          {}\mRightarrow{}  let  c  =  ((r1\^{}2  -  r2\^{}2)  +  ||b||\^{}2/r(2))  in
                  let  d  =  (||b||\^{}2  *  r1\^{}2)  -  c\^{}2  in
                  \mforall{}x:\mBbbR{}\^{}n
                      ((req-vec(n;x;(r1/||b||\^{}2)*c*b  +  rsqrt(d)*b')
                      \mvee{}  req-vec(n;x;(r1/||b||\^{}2)*c*b  -  rsqrt(d)*b'))
                      {}\mRightarrow{}  ((||x||  =  r1)  \mwedge{}  (||x  -  b||  =  r2))))
7.  \mexists{}b':\mBbbR{}\^{}n.  ((b\mcdot{}b'  =  r0)  \mwedge{}  (||b'||  =  ||b||))
\mvdash{}  ((r1\^{}2  -  r2\^{}2)  +  ||b||\^{}2\^{}2  \mleq{}  (r(4)  *  ||b||\^{}2  *  r1\^{}2))
{}\mRightarrow{}  (\mexists{}u,v:\mBbbR{}\^{}n
          (((||u||  =  r1)  \mwedge{}  (||u  -  b||  =  r2))
          \mwedge{}  ((||v||  =  r1)  \mwedge{}  (||v  -  b||  =  r2))
          \mwedge{}  (((r1\^{}2  -  r2\^{}2)  +  ||b||\^{}2\^{}2  <  (r(4)  *  ||b||\^{}2  *  r1\^{}2))  {}\mRightarrow{}  u  \mneq{}  v)))


By

---

Latex:
((ExRepD  THENA  Auto)
  THEN  (InstHyp  [\mkleeneopen{}b'\mkleeneclose{}]  6\mcdot{}  THENA  Auto)
  THEN  Thin  6
  THEN  MoveToConcl  (-1)
  THEN  (GenConcl  \mkleeneopen{}((r1\^{}2  -  r2\^{}2)  +  ||b||\^{}2)  =  cc\mkleeneclose{}\mcdot{}  THENA  Auto)
  THEN  (Assert  r0  \mleq{}  ((||b||\^{}2  *  r1\^{}2)  -  (cc/r(2))\^{}2)  BY
                          (nRAdd  \mkleeneopen{}(cc/r(2))\^{}2\mkleeneclose{}  0\mcdot{}
                            THEN  (Assert  r(2)\^{}2  =  r(4)  BY
                                                    (RWO  "rnexp-int"  0  THEN  Auto))
                            THEN  (Assert  r0  <  r(2)\^{}2  BY
                                                    (RWO  "-1"  0  THEN  Auto))
                            THEN  (RWW  "rnexp-rdiv<  -2"  0  THENA  Auto)
                            THEN  nRMul  \mkleeneopen{}r(4)\mkleeneclose{}  0\mcdot{}
                            THEN  Auto)))

---

Home Index