---

Step * 2 1 2 of Lemma rv-circle-circle-lemma


1. n : ℕ
2. r1 : {r:ℝ| r0 ≤ r} 
3. r2 : {r:ℝ| r0 ≤ r} 
4. b : ℝ^n
5. r0 < ||b||
6. b' : ℝ^n
7. b⋅b' = r0
8. ||b'|| = ||b||
9. cc : ℝ
10. ((r1^2 - r2^2) + ||b||^2) = cc ∈ ℝ
11. cc^2 ≤ (r(4) * ||b||^2 * r1^2)
12. r0 ≤ ((||b||^2 * r1^2) - (cc/r(2))^2)
13. r0 < ||b||^2
14. v : {r:ℝ| (r0 ≤ r) ∧ ((r * r) = ((||b||^2 * r1^2) - (cc/r(2))^2))} 
15. rsqrt((||b||^2 * r1^2) - (cc/r(2))^2) = v ∈ {r:ℝ| (r0 ≤ r) ∧ ((r * r) = ((||b||^2 * r1^2) - (cc/r(2))^2))} 
16. x : ℝ^n
17. req-vec(n;x;(r1/||b||^2)*(cc/r(2))*b + v*b') ∨ req-vec(n;x;(r1/||b||^2)*(cc/r(2))*b - v*b')
18. x⋅x = r1^2
⊢ x - b⋅x - b = r2^2
BY
{ ((Assert x⋅b = b⋅x BY
          Auto)
   THEN (RWW  "-1 -2 dot-product-linearity1-sub.1 dot-product-linearity1-sub.2" 0 THENA Auto)
   ) }

1
1. n : ℕ
2. r1 : {r:ℝ| r0 ≤ r} 
3. r2 : {r:ℝ| r0 ≤ r} 
4. b : ℝ^n
5. r0 < ||b||
6. b' : ℝ^n
7. b⋅b' = r0
8. ||b'|| = ||b||
9. cc : ℝ
10. ((r1^2 - r2^2) + ||b||^2) = cc ∈ ℝ
11. cc^2 ≤ (r(4) * ||b||^2 * r1^2)
12. r0 ≤ ((||b||^2 * r1^2) - (cc/r(2))^2)
13. r0 < ||b||^2
14. v : {r:ℝ| (r0 ≤ r) ∧ ((r * r) = ((||b||^2 * r1^2) - (cc/r(2))^2))} 
15. rsqrt((||b||^2 * r1^2) - (cc/r(2))^2) = v ∈ {r:ℝ| (r0 ≤ r) ∧ ((r * r) = ((||b||^2 * r1^2) - (cc/r(2))^2))} 
16. x : ℝ^n
17. req-vec(n;x;(r1/||b||^2)*(cc/r(2))*b + v*b') ∨ req-vec(n;x;(r1/||b||^2)*(cc/r(2))*b - v*b')
18. x⋅x = r1^2
19. x⋅b = b⋅x
⊢ (r1^2 - b⋅x - b⋅x - b⋅b) = r2^2

---

Latex:

---

Latex:

1.  n  :  \mBbbN{}
2.  r1  :  \{r:\mBbbR{}|  r0  \mleq{}  r\} 
3.  r2  :  \{r:\mBbbR{}|  r0  \mleq{}  r\} 
4.  b  :  \mBbbR{}\^{}n
5.  r0  <  ||b||
6.  b'  :  \mBbbR{}\^{}n
7.  b\mcdot{}b'  =  r0
8.  ||b'||  =  ||b||
9.  cc  :  \mBbbR{}
10.  ((r1\^{}2  -  r2\^{}2)  +  ||b||\^{}2)  =  cc
11.  cc\^{}2  \mleq{}  (r(4)  *  ||b||\^{}2  *  r1\^{}2)
12.  r0  \mleq{}  ((||b||\^{}2  *  r1\^{}2)  -  (cc/r(2))\^{}2)
13.  r0  <  ||b||\^{}2
14.  v  :  \{r:\mBbbR{}|  (r0  \mleq{}  r)  \mwedge{}  ((r  *  r)  =  ((||b||\^{}2  *  r1\^{}2)  -  (cc/r(2))\^{}2))\} 
15.  rsqrt((||b||\^{}2  *  r1\^{}2)  -  (cc/r(2))\^{}2)  =  v
16.  x  :  \mBbbR{}\^{}n
17.  req-vec(n;x;(r1/||b||\^{}2)*(cc/r(2))*b  +  v*b')  \mvee{}  req-vec(n;x;(r1/||b||\^{}2)*(cc/r(2))*b  -  v*b')
18.  x\mcdot{}x  =  r1\^{}2
\mvdash{}  x  -  b\mcdot{}x  -  b  =  r2\^{}2


By

---

Latex:
((Assert  x\mcdot{}b  =  b\mcdot{}x  BY
                Auto)
  THEN  (RWW    "-1  -2  dot-product-linearity1-sub.1  dot-product-linearity1-sub.2"  0  THENA  Auto)
  )

---

Home Index