---

Step * 2 of Lemma rv-line-circle-lemma


1. n : ℕ
2. r : ℝ
3. p : ℝ^n
4. q : ℝ^n
5. p ≠ q
6. ||p|| ≤ r
7. r0 ≤ (p⋅q - p^2 - ||q - p||^2 * (||p||^2 - r^2))
⊢ let v = q - p in
      (r0 ≤ (((r(2) * p⋅v) * r(2) * p⋅v) - r(4) * ||v||^2 * (||p||^2 - r^2)))
      ∧ (||p + quadratic1(||v||^2;r(2) * p⋅v;||p||^2 - r^2)*v|| = r)
      ∧ (||p + quadratic2(||v||^2;r(2) * p⋅v;||p||^2 - r^2)*v|| = r)
BY
{ Assert ⌜r0 < ||q - p||⌝⋅ }

1
.....assertion..... 
1. n : ℕ
2. r : ℝ
3. p : ℝ^n
4. q : ℝ^n
5. p ≠ q
6. ||p|| ≤ r
7. r0 ≤ (p⋅q - p^2 - ||q - p||^2 * (||p||^2 - r^2))
⊢ r0 < ||q - p||

2
1. n : ℕ
2. r : ℝ
3. p : ℝ^n
4. q : ℝ^n
5. p ≠ q
6. ||p|| ≤ r
7. r0 ≤ (p⋅q - p^2 - ||q - p||^2 * (||p||^2 - r^2))
8. r0 < ||q - p||
⊢ let v = q - p in
      (r0 ≤ (((r(2) * p⋅v) * r(2) * p⋅v) - r(4) * ||v||^2 * (||p||^2 - r^2)))
      ∧ (||p + quadratic1(||v||^2;r(2) * p⋅v;||p||^2 - r^2)*v|| = r)
      ∧ (||p + quadratic2(||v||^2;r(2) * p⋅v;||p||^2 - r^2)*v|| = r)

---

Latex:

---

Latex:

1.  n  :  \mBbbN{}
2.  r  :  \mBbbR{}
3.  p  :  \mBbbR{}\^{}n
4.  q  :  \mBbbR{}\^{}n
5.  p  \mneq{}  q
6.  ||p||  \mleq{}  r
7.  r0  \mleq{}  (p\mcdot{}q  -  p\^{}2  -  ||q  -  p||\^{}2  *  (||p||\^{}2  -  r\^{}2))
\mvdash{}  let  v  =  q  -  p  in
            (r0  \mleq{}  (((r(2)  *  p\mcdot{}v)  *  r(2)  *  p\mcdot{}v)  -  r(4)  *  ||v||\^{}2  *  (||p||\^{}2  -  r\^{}2)))
            \mwedge{}  (||p  +  quadratic1(||v||\^{}2;r(2)  *  p\mcdot{}v;||p||\^{}2  -  r\^{}2)*v||  =  r)
            \mwedge{}  (||p  +  quadratic2(||v||\^{}2;r(2)  *  p\mcdot{}v;||p||\^{}2  -  r\^{}2)*v||  =  r)


By

---

Latex:
Assert  \mkleeneopen{}r0  <  ||q  -  p||\mkleeneclose{}\mcdot{}

---

Home Index