---

Step * 2 2 of Lemma rv-line-circle-lemma


1. n : ℕ
2. r : ℝ
3. p : ℝ^n
4. q : ℝ^n
5. p ≠ q
6. ||p|| ≤ r
7. r0 ≤ (p⋅q - p^2 - ||q - p||^2 * (||p||^2 - r^2))
8. r0 < ||q - p||
⊢ let v = q - p in
      (r0 ≤ (((r(2) * p⋅v) * r(2) * p⋅v) - r(4) * ||v||^2 * (||p||^2 - r^2)))
      ∧ (||p + quadratic1(||v||^2;r(2) * p⋅v;||p||^2 - r^2)*v|| = r)
      ∧ (||p + quadratic2(||v||^2;r(2) * p⋅v;||p||^2 - r^2)*v|| = r)
BY
{ (RepeatFor 2 (MoveToConcl (-1)) THEN (GenConclTerm ⌜q - p⌝⋅ THENA Auto) THEN RepUR ``let`` 0) }

1
1. n : ℕ
2. r : ℝ
3. p : ℝ^n
4. q : ℝ^n
5. p ≠ q
6. ||p|| ≤ r
7. v : ℝ^n
8. q - p = v ∈ ℝ^n
⊢ (r0 ≤ (p⋅v^2 - ||v||^2 * (||p||^2 - r^2)))
⇒ (r0 < ||v||)
⇒ ((r0 ≤ (((r(2) * p⋅v) * r(2) * p⋅v) - r(4) * ||v||^2 * (||p||^2 - r^2)))
   ∧ (||p + quadratic1(||v||^2;r(2) * p⋅v;||p||^2 - r^2)*v|| = r)
   ∧ (||p + quadratic2(||v||^2;r(2) * p⋅v;||p||^2 - r^2)*v|| = r))

---

Latex:

---

Latex:

1.  n  :  \mBbbN{}
2.  r  :  \mBbbR{}
3.  p  :  \mBbbR{}\^{}n
4.  q  :  \mBbbR{}\^{}n
5.  p  \mneq{}  q
6.  ||p||  \mleq{}  r
7.  r0  \mleq{}  (p\mcdot{}q  -  p\^{}2  -  ||q  -  p||\^{}2  *  (||p||\^{}2  -  r\^{}2))
8.  r0  <  ||q  -  p||
\mvdash{}  let  v  =  q  -  p  in
            (r0  \mleq{}  (((r(2)  *  p\mcdot{}v)  *  r(2)  *  p\mcdot{}v)  -  r(4)  *  ||v||\^{}2  *  (||p||\^{}2  -  r\^{}2)))
            \mwedge{}  (||p  +  quadratic1(||v||\^{}2;r(2)  *  p\mcdot{}v;||p||\^{}2  -  r\^{}2)*v||  =  r)
            \mwedge{}  (||p  +  quadratic2(||v||\^{}2;r(2)  *  p\mcdot{}v;||p||\^{}2  -  r\^{}2)*v||  =  r)


By

---

Latex:
(RepeatFor  2  (MoveToConcl  (-1))  THEN  (GenConclTerm  \mkleeneopen{}q  -  p\mkleeneclose{}\mcdot{}  THENA  Auto)  THEN  RepUR  ``let``  0)

---

Home Index