---

Step * 2 2 1 of Lemma rv-line-circle-lemma


1. n : ℕ
2. r : ℝ
3. p : ℝ^n
4. q : ℝ^n
5. p ≠ q
6. ||p|| ≤ r
7. v : ℝ^n
8. q - p = v ∈ ℝ^n
⊢ (r0 ≤ (p⋅v^2 - ||v||^2 * (||p||^2 - r^2)))
⇒ (r0 < ||v||)
⇒ ((r0 ≤ (((r(2) * p⋅v) * r(2) * p⋅v) - r(4) * ||v||^2 * (||p||^2 - r^2)))
   ∧ (||p + quadratic1(||v||^2;r(2) * p⋅v;||p||^2 - r^2)*v|| = r)
   ∧ (||p + quadratic2(||v||^2;r(2) * p⋅v;||p||^2 - r^2)*v|| = r))
BY
{ (ThinVar `q'
   THEN RepeatFor 2 ((D 0 THENA Auto))
   THEN Assert ⌜r0 ≤ (((r(2) * p⋅v) * r(2) * p⋅v) - r(4) * ||v||^2 * (||p||^2 - r^2))⌝⋅) }

1
.....assertion..... 
1. n : ℕ
2. r : ℝ
3. p : ℝ^n
4. ||p|| ≤ r
5. v : ℝ^n
6. r0 ≤ (p⋅v^2 - ||v||^2 * (||p||^2 - r^2))
7. r0 < ||v||
⊢ r0 ≤ (((r(2) * p⋅v) * r(2) * p⋅v) - r(4) * ||v||^2 * (||p||^2 - r^2))

2
1. n : ℕ
2. r : ℝ
3. p : ℝ^n
4. ||p|| ≤ r
5. v : ℝ^n
6. r0 ≤ (p⋅v^2 - ||v||^2 * (||p||^2 - r^2))
7. r0 < ||v||
8. r0 ≤ (((r(2) * p⋅v) * r(2) * p⋅v) - r(4) * ||v||^2 * (||p||^2 - r^2))
⊢ (r0 ≤ (((r(2) * p⋅v) * r(2) * p⋅v) - r(4) * ||v||^2 * (||p||^2 - r^2)))
∧ (||p + quadratic1(||v||^2;r(2) * p⋅v;||p||^2 - r^2)*v|| = r)
∧ (||p + quadratic2(||v||^2;r(2) * p⋅v;||p||^2 - r^2)*v|| = r)

---

Latex:

---

Latex:

1.  n  :  \mBbbN{}
2.  r  :  \mBbbR{}
3.  p  :  \mBbbR{}\^{}n
4.  q  :  \mBbbR{}\^{}n
5.  p  \mneq{}  q
6.  ||p||  \mleq{}  r
7.  v  :  \mBbbR{}\^{}n
8.  q  -  p  =  v
\mvdash{}  (r0  \mleq{}  (p\mcdot{}v\^{}2  -  ||v||\^{}2  *  (||p||\^{}2  -  r\^{}2)))
{}\mRightarrow{}  (r0  <  ||v||)
{}\mRightarrow{}  ((r0  \mleq{}  (((r(2)  *  p\mcdot{}v)  *  r(2)  *  p\mcdot{}v)  -  r(4)  *  ||v||\^{}2  *  (||p||\^{}2  -  r\^{}2)))
      \mwedge{}  (||p  +  quadratic1(||v||\^{}2;r(2)  *  p\mcdot{}v;||p||\^{}2  -  r\^{}2)*v||  =  r)
      \mwedge{}  (||p  +  quadratic2(||v||\^{}2;r(2)  *  p\mcdot{}v;||p||\^{}2  -  r\^{}2)*v||  =  r))


By

---

Latex:
(ThinVar  `q'
  THEN  RepeatFor  2  ((D  0  THENA  Auto))
  THEN  Assert  \mkleeneopen{}r0  \mleq{}  (((r(2)  *  p\mcdot{}v)  *  r(2)  *  p\mcdot{}v)  -  r(4)  *  ||v||\^{}2  *  (||p||\^{}2  -  r\^{}2))\mkleeneclose{}\mcdot{})

---

Home Index