---

Step * 1 1 of Lemma series-diverges-tail


1. x : ℕ ⟶ ℝ
2. N : ℕ
3. e : ℝ
4. r0 < e
5. ∀k:ℕ. ∃m,n:ℕ. ((k ≤ m) ∧ (k ≤ n) ∧ (e ≤ |Σ{x[N + i] | 0≤i≤m} - Σ{x[N + i] | 0≤i≤n}|))
6. k : ℕ
7. m : ℕ
8. n : ℕ
9. k ≤ m
10. k ≤ n
11. e ≤ |Σ{x[N + i] | 0≤i≤m} - Σ{x[N + i] | 0≤i≤n}|
12. k ≤ (N + m)
13. k ≤ (N + n)
14. ∀[n,m:ℤ]. ∀[x:Top].  (Σ{x[i] | n≤i≤m} ~ Σ{x[i + N] | n - N≤i≤m - N})
⊢ e ≤ |Σ{x[i + N] | 0 - N≤i≤(N + m) - N} - Σ{x[i + N] | 0 - N≤i≤(N + n) - N}|
BY
{ ((Subst' (N + m) - N ~ m 0 THENA Auto) THEN (Subst' (N + n) - N ~ n 0 THENA Auto)) }

1
1. x : ℕ ⟶ ℝ
2. N : ℕ
3. e : ℝ
4. r0 < e
5. ∀k:ℕ. ∃m,n:ℕ. ((k ≤ m) ∧ (k ≤ n) ∧ (e ≤ |Σ{x[N + i] | 0≤i≤m} - Σ{x[N + i] | 0≤i≤n}|))
6. k : ℕ
7. m : ℕ
8. n : ℕ
9. k ≤ m
10. k ≤ n
11. e ≤ |Σ{x[N + i] | 0≤i≤m} - Σ{x[N + i] | 0≤i≤n}|
12. k ≤ (N + m)
13. k ≤ (N + n)
14. ∀[n,m:ℤ]. ∀[x:Top].  (Σ{x[i] | n≤i≤m} ~ Σ{x[i + N] | n - N≤i≤m - N})
⊢ e ≤ |Σ{x[i + N] | 0 - N≤i≤m} - Σ{x[i + N] | 0 - N≤i≤n}|

---

Latex:

---

Latex:

1.  x  :  \mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbR{}
2.  N  :  \mBbbN{}
3.  e  :  \mBbbR{}
4.  r0  <  e
5.  \mforall{}k:\mBbbN{}.  \mexists{}m,n:\mBbbN{}.  ((k  \mleq{}  m)  \mwedge{}  (k  \mleq{}  n)  \mwedge{}  (e  \mleq{}  |\mSigma{}\{x[N  +  i]  |  0\mleq{}i\mleq{}m\}  -  \mSigma{}\{x[N  +  i]  |  0\mleq{}i\mleq{}n\}|))
6.  k  :  \mBbbN{}
7.  m  :  \mBbbN{}
8.  n  :  \mBbbN{}
9.  k  \mleq{}  m
10.  k  \mleq{}  n
11.  e  \mleq{}  |\mSigma{}\{x[N  +  i]  |  0\mleq{}i\mleq{}m\}  -  \mSigma{}\{x[N  +  i]  |  0\mleq{}i\mleq{}n\}|
12.  k  \mleq{}  (N  +  m)
13.  k  \mleq{}  (N  +  n)
14.  \mforall{}[n,m:\mBbbZ{}].  \mforall{}[x:Top].    (\mSigma{}\{x[i]  |  n\mleq{}i\mleq{}m\}  \msim{}  \mSigma{}\{x[i  +  N]  |  n  -  N\mleq{}i\mleq{}m  -  N\})
\mvdash{}  e  \mleq{}  |\mSigma{}\{x[i  +  N]  |  0  -  N\mleq{}i\mleq{}(N  +  m)  -  N\}  -  \mSigma{}\{x[i  +  N]  |  0  -  N\mleq{}i\mleq{}(N  +  n)  -  N\}|


By

---

Latex:
((Subst'  (N  +  m)  -  N  \msim{}  m  0  THENA  Auto)  THEN  (Subst'  (N  +  n)  -  N  \msim{}  n  0  THENA  Auto))

---

Home Index