---

Step * 1 1 1 of Lemma sine-exists


1. x : ℝ
2. b : ℕ
3. |x| ≤ r(b)
4. ∀b:ℕ. (((x * x) ≤ r(b * b)) ⇒ (∀n:ℕ. (((b ÷ 2) ≤ n) ⇒ ((x * x) ≤ (r(((2 * (n + 1)) + 1)!)/r(((2 * n) + 1)!))))))
⊢ ∃M:ℕ
   ∀i:ℕ
     (M < i
     ⇒ ((r0 ≤ (x^2 * i/r(((2 * i) + 1)!))) ∧ ((x^2 * (i + 1)/r(((2 * (i + 1)) + 1)!)) ≤ (x^2 * i/r(((2 * i) + 1)!)))))
BY
{ (Assert ∀n:ℕ. (r0 ≤ (x^2 * n/r(((2 * n) + 1)!))) BY
         (Auto
          THEN nRMul ⌜r(((2 * n) + 1)!)⌝ 0⋅
          THEN Auto
          THEN (RW IntNormC 0 THENA Auto)
          THEN ((RWO "rnexp-mul<" 0 THEN Auto')
                THEN BLemma `rnexp-nonneg`
                THEN Auto
                THEN InstLemma `square-nonneg` [⌜x⌝]⋅
                THEN Auto
                THEN RWO "rpower-two" 0
                THEN Auto)⋅)) }

1
1. x : ℝ
2. b : ℕ
3. |x| ≤ r(b)
4. ∀b:ℕ. (((x * x) ≤ r(b * b)) ⇒ (∀n:ℕ. (((b ÷ 2) ≤ n) ⇒ ((x * x) ≤ (r(((2 * (n + 1)) + 1)!)/r(((2 * n) + 1)!))))))
5. ∀n:ℕ. (r0 ≤ (x^2 * n/r(((2 * n) + 1)!)))
⊢ ∃M:ℕ
   ∀i:ℕ
     (M < i
     ⇒ ((r0 ≤ (x^2 * i/r(((2 * i) + 1)!))) ∧ ((x^2 * (i + 1)/r(((2 * (i + 1)) + 1)!)) ≤ (x^2 * i/r(((2 * i) + 1)!)))))

---

Latex:

---

Latex:

1.  x  :  \mBbbR{}
2.  b  :  \mBbbN{}
3.  |x|  \mleq{}  r(b)
4.  \mforall{}b:\mBbbN{}
          (((x  *  x)  \mleq{}  r(b  *  b))
          {}\mRightarrow{}  (\mforall{}n:\mBbbN{}.  (((b  \mdiv{}  2)  \mleq{}  n)  {}\mRightarrow{}  ((x  *  x)  \mleq{}  (r(((2  *  (n  +  1))  +  1)!)/r(((2  *  n)  +  1)!))))))
\mvdash{}  \mexists{}M:\mBbbN{}
      \mforall{}i:\mBbbN{}
          (M  <  i
          {}\mRightarrow{}  ((r0  \mleq{}  (x\^{}2  *  i/r(((2  *  i)  +  1)!)))
                \mwedge{}  ((x\^{}2  *  (i  +  1)/r(((2  *  (i  +  1))  +  1)!))  \mleq{}  (x\^{}2  *  i/r(((2  *  i)  +  1)!)))))


By

---

Latex:
(Assert  \mforall{}n:\mBbbN{}.  (r0  \mleq{}  (x\^{}2  *  n/r(((2  *  n)  +  1)!)))  BY
              (Auto
                THEN  nRMul  \mkleeneopen{}r(((2  *  n)  +  1)!)\mkleeneclose{}  0\mcdot{}
                THEN  Auto
                THEN  (RW  IntNormC  0  THENA  Auto)
                THEN  ((RWO  "rnexp-mul<"  0  THEN  Auto')
                            THEN  BLemma  `rnexp-nonneg`
                            THEN  Auto
                            THEN  InstLemma  `square-nonneg`  [\mkleeneopen{}x\mkleeneclose{}]\mcdot{}
                            THEN  Auto
                            THEN  RWO  "rpower-two"  0
                            THEN  Auto)\mcdot{}))

---

Home Index