---

Step * 1 2 1 1 of Lemma sine-exists


1. x : ℝ
2. b : ℕ
3. |x| ≤ r(b)
4. ∀b:ℕ. (((x * x) ≤ r(b * b)) ⇒ (∀n:ℕ. (((b ÷ 2) ≤ n) ⇒ ((x * x) ≤ (r(((2 * (n + 1)) + 1)!)/r(((2 * n) + 1)!))))))
5. lim n→∞.(|x|^n/r((n + 1)!)) = r0
6. ∀y:ℕ ⟶ ℝ
     ((∃N:ℕ. ∀n:ℕ. ∃m:ℕ. ((n ≤ m) ∧ (y[n] = (|x|^m/r((m + 1)!)))) supposing N ≤ n)
     ⇒ lim n→∞.(|x|^n/r((n + 1)!)) = r0
     ⇒ lim n→∞.y[n] = r0)
⊢ ∃N:ℕ. ∀i:ℕ. ∃m:ℕ. ((i ≤ m) ∧ ((x^2 * i)/((2 * i) + 1)! = (|x|^m/r((m + 1)!)))) supposing N ≤ i
BY
{ (With ⌜0⌝ (D 0)⋅ THEN Auto THEN With ⌜2 * i⌝ (D 0)⋅ THEN Auto) }

1
1. x : ℝ
2. b : ℕ
3. |x| ≤ r(b)
4. ∀b:ℕ. (((x * x) ≤ r(b * b)) ⇒ (∀n:ℕ. (((b ÷ 2) ≤ n) ⇒ ((x * x) ≤ (r(((2 * (n + 1)) + 1)!)/r(((2 * n) + 1)!))))))
5. lim n→∞.(|x|^n/r((n + 1)!)) = r0
6. ∀y:ℕ ⟶ ℝ
     ((∃N:ℕ. ∀n:ℕ. ∃m:ℕ. ((n ≤ m) ∧ (y[n] = (|x|^m/r((m + 1)!)))) supposing N ≤ n)
     ⇒ lim n→∞.(|x|^n/r((n + 1)!)) = r0
     ⇒ lim n→∞.y[n] = r0)
7. i : ℕ
8. 0 ≤ i
9. i ≤ (2 * i)
⊢ (x^2 * i)/((2 * i) + 1)! = (|x|^2 * i/r(((2 * i) + 1)!))

---

Latex:

---

Latex:

1.  x  :  \mBbbR{}
2.  b  :  \mBbbN{}
3.  |x|  \mleq{}  r(b)
4.  \mforall{}b:\mBbbN{}
          (((x  *  x)  \mleq{}  r(b  *  b))
          {}\mRightarrow{}  (\mforall{}n:\mBbbN{}.  (((b  \mdiv{}  2)  \mleq{}  n)  {}\mRightarrow{}  ((x  *  x)  \mleq{}  (r(((2  *  (n  +  1))  +  1)!)/r(((2  *  n)  +  1)!))))))
5.  lim  n\mrightarrow{}\minfty{}.(|x|\^{}n/r((n  +  1)!))  =  r0
6.  \mforall{}y:\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbR{}
          ((\mexists{}N:\mBbbN{}.  \mforall{}n:\mBbbN{}.  \mexists{}m:\mBbbN{}.  ((n  \mleq{}  m)  \mwedge{}  (y[n]  =  (|x|\^{}m/r((m  +  1)!))))  supposing  N  \mleq{}  n)
          {}\mRightarrow{}  lim  n\mrightarrow{}\minfty{}.(|x|\^{}n/r((n  +  1)!))  =  r0
          {}\mRightarrow{}  lim  n\mrightarrow{}\minfty{}.y[n]  =  r0)
\mvdash{}  \mexists{}N:\mBbbN{}.  \mforall{}i:\mBbbN{}.  \mexists{}m:\mBbbN{}.  ((i  \mleq{}  m)  \mwedge{}  ((x\^{}2  *  i)/((2  *  i)  +  1)!  =  (|x|\^{}m/r((m  +  1)!))))  supposing  N  \mleq{}  i


By

---

Latex:
(With  \mkleeneopen{}0\mkleeneclose{}  (D  0)\mcdot{}  THEN  Auto  THEN  With  \mkleeneopen{}2  *  i\mkleeneclose{}  (D  0)\mcdot{}  THEN  Auto)

---

Home Index