---

Step * 2 1 1 of Lemma sine-exists


1. x : ℝ
2. b : ℕ
3. |x| ≤ r(b)
4. ∀b:ℕ. (((x * x) ≤ r(b * b)) ⇒ (∀n:ℕ. (((b ÷ 2) ≤ n) ⇒ ((x * x) ≤ (r(((2 * (n + 1)) + 1)!)/r(((2 * n) + 1)!))))))
5. a : ℝ
6. lim i→∞.Σ{-1^i * (x^2 * i)/((2 * i) + 1)! | 0≤i≤i} = a
⊢ lim i→∞.Σ{-1^i * (x^(2 * i) + 1)/((2 * i) + 1)! | 0≤i≤i} = x * a
BY
{ ((InstLemma `const-rmul-limit-with-bound` [⌜λ2i.Σ{-1^i * (x^2 * i)/((2 * i) + 1)! | 0≤i≤i}⌝;⌜a⌝;⌜x⌝;⌜b + 1⌝]⋅
    THENA (Auto THEN RWO "3" 0 THEN Auto)
    )
   THEN MoveToConcl (-1)
   THEN BLemma `converges-to_functionality` 
   THEN Auto) }

1
1. x : ℝ
2. b : ℕ
3. |x| ≤ r(b)
4. ∀b:ℕ. (((x * x) ≤ r(b * b)) ⇒ (∀n:ℕ. (((b ÷ 2) ≤ n) ⇒ ((x * x) ≤ (r(((2 * (n + 1)) + 1)!)/r(((2 * n) + 1)!))))))
5. a : ℝ
6. lim i→∞.Σ{-1^i * (x^2 * i)/((2 * i) + 1)! | 0≤i≤i} = a
7. i : ℕ
⊢ (x * Σ{-1^i * (x^2 * i)/((2 * i) + 1)! | 0≤i≤i}) = Σ{-1^i * (x^(2 * i) + 1)/((2 * i) + 1)! | 0≤i≤i}

---

Latex:

---

Latex:

1.  x  :  \mBbbR{}
2.  b  :  \mBbbN{}
3.  |x|  \mleq{}  r(b)
4.  \mforall{}b:\mBbbN{}
          (((x  *  x)  \mleq{}  r(b  *  b))
          {}\mRightarrow{}  (\mforall{}n:\mBbbN{}.  (((b  \mdiv{}  2)  \mleq{}  n)  {}\mRightarrow{}  ((x  *  x)  \mleq{}  (r(((2  *  (n  +  1))  +  1)!)/r(((2  *  n)  +  1)!))))))
5.  a  :  \mBbbR{}
6.  lim  i\mrightarrow{}\minfty{}.\mSigma{}\{-1\^{}i  *  (x\^{}2  *  i)/((2  *  i)  +  1)!  |  0\mleq{}i\mleq{}i\}  =  a
\mvdash{}  lim  i\mrightarrow{}\minfty{}.\mSigma{}\{-1\^{}i  *  (x\^{}(2  *  i)  +  1)/((2  *  i)  +  1)!  |  0\mleq{}i\mleq{}i\}  =  x  *  a


By

---

Latex:
((InstLemma  `const-rmul-limit-with-bound`  [\mkleeneopen{}\mlambda{}\msubtwo{}i.\mSigma{}\{-1\^{}i  *  (x\^{}2  *  i)/((2  *  i)  +  1)!  |  0\mleq{}i\mleq{}i\}\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}a\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}x\mkleeneclose{};
    \mkleeneopen{}b  +  1\mkleeneclose{}]\mcdot{}
    THENA  (Auto  THEN  RWO  "3"  0  THEN  Auto)
    )
  THEN  MoveToConcl  (-1)
  THEN  BLemma  `converges-to\_functionality` 
  THEN  Auto)

---

Home Index