---

Step * 1 1 1 1 1 of Lemma strictly-increasing-on-closed-interval2


1. a : ℝ
2. b : ℝ
3. f : [a, b] ⟶ℝ
4. (a, b) ⊆ [a, b] 
5. ∀x,y:{x:ℝ| x ∈ [a, b]} .  ((x = y) ⇒ (f[x] = f[y]))
6. f[x] increasing for x ∈ [a, b] ⇒ f[x] strictly-increasing for x ∈ [a, b]
7. ∀x:{x:ℝ| x ∈ [a, b]} . ((f[a] ≤ f[x]) ∧ (f[x] ≤ f[b]))
8. x : {x:ℝ| x ∈ [a, b]} 
9. y : {x:ℝ| x ∈ [a, b]} 
10. x ≤ y
11. a < x
12. y < b
13. ∀y:{x:ℝ| x ∈ (a, b)} . ((x < y) ⇒ (f[x] < f[y]))
⊢ f[x] ≤ f[y]
BY
{ (D -1 With ⌜y⌝  THEN Auto) }

1
1. a : ℝ
2. b : ℝ
3. f : [a, b] ⟶ℝ
4. (a, b) ⊆ [a, b] 
5. ∀x,y:{x:ℝ| x ∈ [a, b]} .  ((x = y) ⇒ (f[x] = f[y]))
6. f[x] increasing for x ∈ [a, b] ⇒ f[x] strictly-increasing for x ∈ [a, b]
7. ∀x:{x:ℝ| x ∈ [a, b]} . ((f[a] ≤ f[x]) ∧ (f[x] ≤ f[b]))
8. x : {x:ℝ| x ∈ [a, b]} 
9. y : {x:ℝ| x ∈ [a, b]} 
10. x ≤ y
11. a < x
12. y < b
13. (x < y) ⇒ (f[x] < f[y])
⊢ f[x] ≤ f[y]

---

Latex:

---

Latex:

1.  a  :  \mBbbR{}
2.  b  :  \mBbbR{}
3.  f  :  [a,  b]  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}
4.  (a,  b)  \msubseteq{}  [a,  b] 
5.  \mforall{}x,y:\{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  [a,  b]\}  .    ((x  =  y)  {}\mRightarrow{}  (f[x]  =  f[y]))
6.  f[x]  increasing  for  x  \mmember{}  [a,  b]  {}\mRightarrow{}  f[x]  strictly-increasing  for  x  \mmember{}  [a,  b]
7.  \mforall{}x:\{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  [a,  b]\}  .  ((f[a]  \mleq{}  f[x])  \mwedge{}  (f[x]  \mleq{}  f[b]))
8.  x  :  \{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  [a,  b]\} 
9.  y  :  \{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  [a,  b]\} 
10.  x  \mleq{}  y
11.  a  <  x
12.  y  <  b
13.  \mforall{}y:\{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  (a,  b)\}  .  ((x  <  y)  {}\mRightarrow{}  (f[x]  <  f[y]))
\mvdash{}  f[x]  \mleq{}  f[y]


By

---

Latex:
(D  -1  With  \mkleeneopen{}y\mkleeneclose{}    THEN  Auto)

---

Home Index