Step * 1 1 2 2 1 of Lemma DAlembert-equation-iff3


1. : ℝ ⟶ ℝ
2. ∀x,y:ℝ.  ((x y)  ((f x) (f y)))
3. ∀x,y:ℝ.  (((f (x y)) (f (x y))) (r(2) (f x) (f y)))
4. : ℝ
5. r0 < u
6. (-(u), u) ⟶ℝ
7. (-(u), u) ⟶ℝ
8. d(f x)/dx = λx.g on (-(u), u)
9. d(g x)/dx = λx.h on (-(u), u)
10. (h r0) < r0
11. ¬¬((∃c:ℝ. ∀x:ℝ((f x) rcos(c x))) ∨ (∃c:ℝ. ∀x:ℝ((f x) cosh(c x))))
12. ∀c:ℝ((∀x:ℝ((f x) rcos(c x)))  rfun-eq((-(u), u);λ2x.c -(c rcos(c x));λ2x.h x))
13. ∀c:ℝ((∀x:ℝ((f x) cosh(c x)))  rfun-eq((-(u), u);λ2x.c cosh(c x);λ2x.h x))
⊢ ∃c:{c:ℝr0 < c} . ∀x:ℝ((f x) rcos(c x))
BY
(((Assert r0 < -(h r0) BY Auto) THEN With ⌜rsqrt(-(h r0))⌝  THEN Auto)
   THEN (StableCases ⌜(∃c:ℝ. ∀x:ℝ((f x) rcos(c x))) ∨ (∃c:ℝ. ∀x:ℝ((f x) cosh(c x)))⌝⋅ THENA Auto)
   THEN (Trivial
   ORELSE (D -1
           THEN ExRepD
           THEN OnMaybeHyp 12 (\h. ((InstHyp [⌜c⌝h⋅ THENA Complete (Auto))
                                    THEN (D -1 With ⌜r0⌝  THENA Auto)
                                    THEN RepUR ``r-ap so_lambda`` -1
                                    THEN (nRNorm (-1) THENA Auto)
                                    THEN (RWO "rcos0 cosh0" (-1) THENA Auto)
                                    THEN (nRNorm (-1) THENA Auto))))
   )) }

1
1. : ℝ ⟶ ℝ
2. ∀x,y:ℝ.  ((x y)  ((f x) (f y)))
3. ∀x,y:ℝ.  (((f (x y)) (f (x y))) (r(2) (f x) (f y)))
4. : ℝ
5. r0 < u
6. (-(u), u) ⟶ℝ
7. (-(u), u) ⟶ℝ
8. d(f x)/dx = λx.g on (-(u), u)
9. d(g x)/dx = λx.h on (-(u), u)
10. (h r0) < r0
11. ¬¬((∃c:ℝ. ∀x:ℝ((f x) rcos(c x))) ∨ (∃c:ℝ. ∀x:ℝ((f x) cosh(c x))))
12. ∀c:ℝ((∀x:ℝ((f x) rcos(c x)))  rfun-eq((-(u), u);λ2x.c -(c rcos(c x));λ2x.h x))
13. ∀c:ℝ((∀x:ℝ((f x) cosh(c x)))  rfun-eq((-(u), u);λ2x.c cosh(c x);λ2x.h x))
14. r0 < -(h r0)
15. : ℝ
16. : ℝ
17. ∀x:ℝ((f x) rcos(c x))
18. -(c c) (h r0)
⊢ (f x) rcos(rsqrt(-(h r0)) x)

2
1. : ℝ ⟶ ℝ
2. ∀x,y:ℝ.  ((x y)  ((f x) (f y)))
3. ∀x,y:ℝ.  (((f (x y)) (f (x y))) (r(2) (f x) (f y)))
4. : ℝ
5. r0 < u
6. (-(u), u) ⟶ℝ
7. (-(u), u) ⟶ℝ
8. d(f x)/dx = λx.g on (-(u), u)
9. d(g x)/dx = λx.h on (-(u), u)
10. (h r0) < r0
11. ¬¬((∃c:ℝ. ∀x:ℝ((f x) rcos(c x))) ∨ (∃c:ℝ. ∀x:ℝ((f x) cosh(c x))))
12. ∀c:ℝ((∀x:ℝ((f x) rcos(c x)))  rfun-eq((-(u), u);λ2x.c -(c rcos(c x));λ2x.h x))
13. ∀c:ℝ((∀x:ℝ((f x) cosh(c x)))  rfun-eq((-(u), u);λ2x.c cosh(c x);λ2x.h x))
14. r0 < -(h r0)
15. : ℝ
16. : ℝ
17. ∀x:ℝ((f x) cosh(c x))
18. (c c) (h r0)
⊢ (f x) rcos(rsqrt(-(h r0)) x)


Latex:


Latex:

1.  f  :  \mBbbR{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbR{}
2.  \mforall{}x,y:\mBbbR{}.    ((x  =  y)  {}\mRightarrow{}  ((f  x)  =  (f  y)))
3.  \mforall{}x,y:\mBbbR{}.    (((f  (x  +  y))  +  (f  (x  -  y)))  =  (r(2)  *  (f  x)  *  (f  y)))
4.  u  :  \mBbbR{}
5.  r0  <  u
6.  g  :  (-(u),  u)  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}
7.  h  :  (-(u),  u)  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}
8.  d(f  x)/dx  =  \mlambda{}x.g  x  on  (-(u),  u)
9.  d(g  x)/dx  =  \mlambda{}x.h  x  on  (-(u),  u)
10.  (h  r0)  <  r0
11.  \mneg{}\mneg{}((\mexists{}c:\mBbbR{}.  \mforall{}x:\mBbbR{}.  ((f  x)  =  rcos(c  *  x)))  \mvee{}  (\mexists{}c:\mBbbR{}.  \mforall{}x:\mBbbR{}.  ((f  x)  =  cosh(c  *  x))))
12.  \mforall{}c:\mBbbR{}.  ((\mforall{}x:\mBbbR{}.  ((f  x)  =  rcos(c  *  x)))  {}\mRightarrow{}  rfun-eq((-(u),  u);\mlambda{}\msubtwo{}x.c  *  -(c  *  rcos(c  *  x));\mlambda{}\msubtwo{}x.h  x))
13.  \mforall{}c:\mBbbR{}.  ((\mforall{}x:\mBbbR{}.  ((f  x)  =  cosh(c  *  x)))  {}\mRightarrow{}  rfun-eq((-(u),  u);\mlambda{}\msubtwo{}x.c  *  c  *  cosh(c  *  x);\mlambda{}\msubtwo{}x.h  x))
\mvdash{}  \mexists{}c:\{c:\mBbbR{}|  r0  <  c\}  .  \mforall{}x:\mBbbR{}.  ((f  x)  =  rcos(c  *  x))


By


Latex:
(((Assert  r0  <  -(h  r0)  BY  Auto)  THEN  D  0  With  \mkleeneopen{}rsqrt(-(h  r0))\mkleeneclose{}    THEN  Auto)
  THEN  (StableCases  \mkleeneopen{}(\mexists{}c:\mBbbR{}.  \mforall{}x:\mBbbR{}.  ((f  x)  =  rcos(c  *  x)))  \mvee{}  (\mexists{}c:\mBbbR{}.  \mforall{}x:\mBbbR{}.  ((f  x)  =  cosh(c  *  x)))\mkleeneclose{}\mcdot{}
              THENA  Auto
              )
  THEN  (Trivial
  ORELSE  (D  -1
                  THEN  ExRepD
                  THEN  OnMaybeHyp  12  (\mbackslash{}h.  ((InstHyp  [\mkleeneopen{}c\mkleeneclose{}]  h\mcdot{}  THENA  Complete  (Auto))
                                                                    THEN  (D  -1  With  \mkleeneopen{}r0\mkleeneclose{}    THENA  Auto)
                                                                    THEN  RepUR  ``r-ap  so\_lambda``  -1
                                                                    THEN  (nRNorm  (-1)  THENA  Auto)
                                                                    THEN  (RWO  "rcos0  cosh0"  (-1)  THENA  Auto)
                                                                    THEN  (nRNorm  (-1)  THENA  Auto))))
  ))




Home Index