---

Step * 1 1 2 2 1 2 of Lemma DAlembert-equation-iff3


1. f : ℝ ⟶ ℝ
2. ∀x,y:ℝ.  ((x = y) ⇒ ((f x) = (f y)))
3. ∀x,y:ℝ.  (((f (x + y)) + (f (x - y))) = (r(2) * (f x) * (f y)))
4. u : ℝ
5. r0 < u
6. g : (-(u), u) ⟶ℝ
7. h : (-(u), u) ⟶ℝ
8. d(f x)/dx = λx.g x on (-(u), u)
9. d(g x)/dx = λx.h x on (-(u), u)
10. (h r0) < r0
11. ¬¬((∃c:ℝ. ∀x:ℝ. ((f x) = rcos(c * x))) ∨ (∃c:ℝ. ∀x:ℝ. ((f x) = cosh(c * x))))
12. ∀c:ℝ. ((∀x:ℝ. ((f x) = rcos(c * x))) ⇒ rfun-eq((-(u), u);λ2x.c * -(c * rcos(c * x));λ2x.h x))
13. ∀c:ℝ. ((∀x:ℝ. ((f x) = cosh(c * x))) ⇒ rfun-eq((-(u), u);λ2x.c * c * cosh(c * x);λ2x.h x))
14. r0 < -(h r0)
15. x : ℝ
16. c : ℝ
17. ∀x:ℝ. ((f x) = cosh(c * x))
18. (c * c) = (h r0)
⊢ (f x) = rcos(rsqrt(-(h r0)) * x)
BY
{ (Assert (c * c) ≤ r0 BY
         Auto) }

1
1. f : ℝ ⟶ ℝ
2. ∀x,y:ℝ.  ((x = y) ⇒ ((f x) = (f y)))
3. ∀x,y:ℝ.  (((f (x + y)) + (f (x - y))) = (r(2) * (f x) * (f y)))
4. u : ℝ
5. r0 < u
6. g : (-(u), u) ⟶ℝ
7. h : (-(u), u) ⟶ℝ
8. d(f x)/dx = λx.g x on (-(u), u)
9. d(g x)/dx = λx.h x on (-(u), u)
10. (h r0) < r0
11. ¬¬((∃c:ℝ. ∀x:ℝ. ((f x) = rcos(c * x))) ∨ (∃c:ℝ. ∀x:ℝ. ((f x) = cosh(c * x))))
12. ∀c:ℝ. ((∀x:ℝ. ((f x) = rcos(c * x))) ⇒ rfun-eq((-(u), u);λ2x.c * -(c * rcos(c * x));λ2x.h x))
13. ∀c:ℝ. ((∀x:ℝ. ((f x) = cosh(c * x))) ⇒ rfun-eq((-(u), u);λ2x.c * c * cosh(c * x);λ2x.h x))
14. r0 < -(h r0)
15. x : ℝ
16. c : ℝ
17. ∀x:ℝ. ((f x) = cosh(c * x))
18. (c * c) = (h r0)
19. (c * c) ≤ r0
⊢ (f x) = rcos(rsqrt(-(h r0)) * x)

---

Latex:

---

Latex:

1.  f  :  \mBbbR{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbR{}
2.  \mforall{}x,y:\mBbbR{}.    ((x  =  y)  {}\mRightarrow{}  ((f  x)  =  (f  y)))
3.  \mforall{}x,y:\mBbbR{}.    (((f  (x  +  y))  +  (f  (x  -  y)))  =  (r(2)  *  (f  x)  *  (f  y)))
4.  u  :  \mBbbR{}
5.  r0  <  u
6.  g  :  (-(u),  u)  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}
7.  h  :  (-(u),  u)  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}
8.  d(f  x)/dx  =  \mlambda{}x.g  x  on  (-(u),  u)
9.  d(g  x)/dx  =  \mlambda{}x.h  x  on  (-(u),  u)
10.  (h  r0)  <  r0
11.  \mneg{}\mneg{}((\mexists{}c:\mBbbR{}.  \mforall{}x:\mBbbR{}.  ((f  x)  =  rcos(c  *  x)))  \mvee{}  (\mexists{}c:\mBbbR{}.  \mforall{}x:\mBbbR{}.  ((f  x)  =  cosh(c  *  x))))
12.  \mforall{}c:\mBbbR{}.  ((\mforall{}x:\mBbbR{}.  ((f  x)  =  rcos(c  *  x)))  {}\mRightarrow{}  rfun-eq((-(u),  u);\mlambda{}\msubtwo{}x.c  *  -(c  *  rcos(c  *  x));\mlambda{}\msubtwo{}x.h  x))
13.  \mforall{}c:\mBbbR{}.  ((\mforall{}x:\mBbbR{}.  ((f  x)  =  cosh(c  *  x)))  {}\mRightarrow{}  rfun-eq((-(u),  u);\mlambda{}\msubtwo{}x.c  *  c  *  cosh(c  *  x);\mlambda{}\msubtwo{}x.h  x))
14.  r0  <  -(h  r0)
15.  x  :  \mBbbR{}
16.  c  :  \mBbbR{}
17.  \mforall{}x:\mBbbR{}.  ((f  x)  =  cosh(c  *  x))
18.  (c  *  c)  =  (h  r0)
\mvdash{}  (f  x)  =  rcos(rsqrt(-(h  r0))  *  x)


By

---

Latex:
(Assert  (c  *  c)  \mleq{}  r0  BY
              Auto)

---

Home Index