---

Step * 1 1 2 2 3 of Lemma DAlembert-equation-iff3


1. f : ℝ ⟶ ℝ
2. ∀x,y:ℝ.  ((x = y) ⇒ ((f x) = (f y)))
3. ∀x,y:ℝ.  (((f (x + y)) + (f (x - y))) = (r(2) * (f x) * (f y)))
4. u : ℝ
5. r0 < u
6. g : (-(u), u) ⟶ℝ
7. h : (-(u), u) ⟶ℝ
8. d(f x)/dx = λx.g x on (-(u), u)
9. d(g x)/dx = λx.h x on (-(u), u)
10. r0 < (h r0)
11. ¬¬((∃c:ℝ. ∀x:ℝ. ((f x) = rcos(c * x))) ∨ (∃c:ℝ. ∀x:ℝ. ((f x) = cosh(c * x))))
12. ∀c:ℝ. ((∀x:ℝ. ((f x) = rcos(c * x))) ⇒ rfun-eq((-(u), u);λ2x.c * -(c * rcos(c * x));λ2x.h x))
13. ∀c:ℝ. ((∀x:ℝ. ((f x) = cosh(c * x))) ⇒ rfun-eq((-(u), u);λ2x.c * c * cosh(c * x);λ2x.h x))
⊢ ∃c:{c:ℝ| r0 < c} . ∀x:ℝ. ((f x) = cosh(c * x))
BY
{ ((D 0 With ⌜rsqrt(h r0)⌝  THEN Auto)
   THEN (StableCases ⌜(∃c:ℝ. ∀x:ℝ. ((f x) = rcos(c * x))) ∨ (∃c:ℝ. ∀x:ℝ. ((f x) = cosh(c * x)))⌝⋅ THENA Auto)
   THEN (Trivial
   ORELSE (D -1
           THEN ExRepD
           THEN OnMaybeHyp 12 (\h. ((InstHyp [⌜c⌝] h⋅ THENA Complete (Auto))
                                    THEN (D -1 With ⌜r0⌝  THENA Auto)
                                    THEN RepUR ``r-ap so_lambda`` -1
                                    THEN (nRNorm (-1) THENA Auto)
                                    THEN (RWO "rcos0 cosh0" (-1) THENA Auto)
                                    THEN (nRNorm (-1) THENA Auto))))
   )) }

1
1. f : ℝ ⟶ ℝ
2. ∀x,y:ℝ.  ((x = y) ⇒ ((f x) = (f y)))
3. ∀x,y:ℝ.  (((f (x + y)) + (f (x - y))) = (r(2) * (f x) * (f y)))
4. u : ℝ
5. r0 < u
6. g : (-(u), u) ⟶ℝ
7. h : (-(u), u) ⟶ℝ
8. d(f x)/dx = λx.g x on (-(u), u)
9. d(g x)/dx = λx.h x on (-(u), u)
10. r0 < (h r0)
11. ¬¬((∃c:ℝ. ∀x:ℝ. ((f x) = rcos(c * x))) ∨ (∃c:ℝ. ∀x:ℝ. ((f x) = cosh(c * x))))
12. ∀c:ℝ. ((∀x:ℝ. ((f x) = rcos(c * x))) ⇒ rfun-eq((-(u), u);λ2x.c * -(c * rcos(c * x));λ2x.h x))
13. ∀c:ℝ. ((∀x:ℝ. ((f x) = cosh(c * x))) ⇒ rfun-eq((-(u), u);λ2x.c * c * cosh(c * x);λ2x.h x))
14. x : ℝ
15. c : ℝ
16. ∀x:ℝ. ((f x) = rcos(c * x))
17. -(c * c) = (h r0)
⊢ (f x) = cosh(rsqrt(h r0) * x)

2
1. f : ℝ ⟶ ℝ
2. ∀x,y:ℝ.  ((x = y) ⇒ ((f x) = (f y)))
3. ∀x,y:ℝ.  (((f (x + y)) + (f (x - y))) = (r(2) * (f x) * (f y)))
4. u : ℝ
5. r0 < u
6. g : (-(u), u) ⟶ℝ
7. h : (-(u), u) ⟶ℝ
8. d(f x)/dx = λx.g x on (-(u), u)
9. d(g x)/dx = λx.h x on (-(u), u)
10. r0 < (h r0)
11. ¬¬((∃c:ℝ. ∀x:ℝ. ((f x) = rcos(c * x))) ∨ (∃c:ℝ. ∀x:ℝ. ((f x) = cosh(c * x))))
12. ∀c:ℝ. ((∀x:ℝ. ((f x) = rcos(c * x))) ⇒ rfun-eq((-(u), u);λ2x.c * -(c * rcos(c * x));λ2x.h x))
13. ∀c:ℝ. ((∀x:ℝ. ((f x) = cosh(c * x))) ⇒ rfun-eq((-(u), u);λ2x.c * c * cosh(c * x);λ2x.h x))
14. x : ℝ
15. c : ℝ
16. ∀x:ℝ. ((f x) = cosh(c * x))
17. (c * c) = (h r0)
⊢ (f x) = cosh(rsqrt(h r0) * x)

---

Latex:

---

Latex:

1.  f  :  \mBbbR{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbR{}
2.  \mforall{}x,y:\mBbbR{}.    ((x  =  y)  {}\mRightarrow{}  ((f  x)  =  (f  y)))
3.  \mforall{}x,y:\mBbbR{}.    (((f  (x  +  y))  +  (f  (x  -  y)))  =  (r(2)  *  (f  x)  *  (f  y)))
4.  u  :  \mBbbR{}
5.  r0  <  u
6.  g  :  (-(u),  u)  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}
7.  h  :  (-(u),  u)  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}
8.  d(f  x)/dx  =  \mlambda{}x.g  x  on  (-(u),  u)
9.  d(g  x)/dx  =  \mlambda{}x.h  x  on  (-(u),  u)
10.  r0  <  (h  r0)
11.  \mneg{}\mneg{}((\mexists{}c:\mBbbR{}.  \mforall{}x:\mBbbR{}.  ((f  x)  =  rcos(c  *  x)))  \mvee{}  (\mexists{}c:\mBbbR{}.  \mforall{}x:\mBbbR{}.  ((f  x)  =  cosh(c  *  x))))
12.  \mforall{}c:\mBbbR{}.  ((\mforall{}x:\mBbbR{}.  ((f  x)  =  rcos(c  *  x)))  {}\mRightarrow{}  rfun-eq((-(u),  u);\mlambda{}\msubtwo{}x.c  *  -(c  *  rcos(c  *  x));\mlambda{}\msubtwo{}x.h  x))
13.  \mforall{}c:\mBbbR{}.  ((\mforall{}x:\mBbbR{}.  ((f  x)  =  cosh(c  *  x)))  {}\mRightarrow{}  rfun-eq((-(u),  u);\mlambda{}\msubtwo{}x.c  *  c  *  cosh(c  *  x);\mlambda{}\msubtwo{}x.h  x))
\mvdash{}  \mexists{}c:\{c:\mBbbR{}|  r0  <  c\}  .  \mforall{}x:\mBbbR{}.  ((f  x)  =  cosh(c  *  x))


By

---

Latex:
((D  0  With  \mkleeneopen{}rsqrt(h  r0)\mkleeneclose{}    THEN  Auto)
  THEN  (StableCases  \mkleeneopen{}(\mexists{}c:\mBbbR{}.  \mforall{}x:\mBbbR{}.  ((f  x)  =  rcos(c  *  x)))  \mvee{}  (\mexists{}c:\mBbbR{}.  \mforall{}x:\mBbbR{}.  ((f  x)  =  cosh(c  *  x)))\mkleeneclose{}\mcdot{}
              THENA  Auto
              )
  THEN  (Trivial
  ORELSE  (D  -1
                  THEN  ExRepD
                  THEN  OnMaybeHyp  12  (\mbackslash{}h.  ((InstHyp  [\mkleeneopen{}c\mkleeneclose{}]  h\mcdot{}  THENA  Complete  (Auto))
                                                                    THEN  (D  -1  With  \mkleeneopen{}r0\mkleeneclose{}    THENA  Auto)
                                                                    THEN  RepUR  ``r-ap  so\_lambda``  -1
                                                                    THEN  (nRNorm  (-1)  THENA  Auto)
                                                                    THEN  (RWO  "rcos0  cosh0"  (-1)  THENA  Auto)
                                                                    THEN  (nRNorm  (-1)  THENA  Auto))))
  ))

---

Home Index