---

Step * 1 1 1 1 of Lemma Legendre-roots-lemma


1. n : {2...}
2. z : ℕn - 1 ⟶ {x:ℝ| x ∈ (r(-1), r1)} 
3. ∀i:ℕn - 1. (Legendre(n - 1;z i) = r0)
4. ∀i:ℕn - 2. ((z i) < (z (i + 1)))
5. i : ℕn
6. v : ℝ
7. v ∈ (if i=0 then r(-1) else (z (i - 1)), if i=n - 1 then r1 else (z i))
8. Legendre(n;v) = r0
9. ∀[x:ℝ]. (Legendre(n - 1;x) = ((r(doublefact((2 * (n - 1)) - 1))/r((n - 1)!)) * rprod(0;n - 2;j.x - z j)))
10. r0 < r((n - 1)!)
11. A : ℝ
12. r(doublefact((2 * (n - 1)) - 1)) = A ∈ ℝ
13. r0 < A
⊢ r0 < -(A * r(-1)^n - i * rprod(0;n - 2;j.v - z j))
BY
{ ((Assert ⌜r0 < -(r(-1)^n - i * rprod(0;n - 2;j.v - z j))⌝⋅ THENM (nRMul ⌜A⌝ (-1)⋅ THEN Auto))
   THEN RepeatFor 6 (Thin (-1))
   ) }

1
1. n : {2...}
2. z : ℕn - 1 ⟶ {x:ℝ| x ∈ (r(-1), r1)} 
3. ∀i:ℕn - 1. (Legendre(n - 1;z i) = r0)
4. ∀i:ℕn - 2. ((z i) < (z (i + 1)))
5. i : ℕn
6. v : ℝ
7. v ∈ (if i=0 then r(-1) else (z (i - 1)), if i=n - 1 then r1 else (z i))
⊢ r0 < -(r(-1)^n - i * rprod(0;n - 2;j.v - z j))

---

Latex:

---

Latex:

1.  n  :  \{2...\}
2.  z  :  \mBbbN{}n  -  1  {}\mrightarrow{}  \{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  (r(-1),  r1)\} 
3.  \mforall{}i:\mBbbN{}n  -  1.  (Legendre(n  -  1;z  i)  =  r0)
4.  \mforall{}i:\mBbbN{}n  -  2.  ((z  i)  <  (z  (i  +  1)))
5.  i  :  \mBbbN{}n
6.  v  :  \mBbbR{}
7.  v  \mmember{}  (if  i=0  then  r(-1)  else  (z  (i  -  1)),  if  i=n  -  1  then  r1  else  (z  i))
8.  Legendre(n;v)  =  r0
9.  \mforall{}[x:\mBbbR{}]
          (Legendre(n  -  1;x)
          =  ((r(doublefact((2  *  (n  -  1))  -  1))/r((n  -  1)!))  *  rprod(0;n  -  2;j.x  -  z  j)))
10.  r0  <  r((n  -  1)!)
11.  A  :  \mBbbR{}
12.  r(doublefact((2  *  (n  -  1))  -  1))  =  A
13.  r0  <  A
\mvdash{}  r0  <  -(A  *  r(-1)\^{}n  -  i  *  rprod(0;n  -  2;j.v  -  z  j))


By

---

Latex:
((Assert  \mkleeneopen{}r0  <  -(r(-1)\^{}n  -  i  *  rprod(0;n  -  2;j.v  -  z  j))\mkleeneclose{}\mcdot{}  THENM  (nRMul  \mkleeneopen{}A\mkleeneclose{}  (-1)\mcdot{}  THEN  Auto))
  THEN  RepeatFor  6  (Thin  (-1))
  )

---

Home Index