---

Step * 1 1 1 1 1 of Lemma Legendre-roots-lemma


1. n : {2...}
2. z : ℕn - 1 ⟶ {x:ℝ| x ∈ (r(-1), r1)} 
3. ∀i:ℕn - 1. (Legendre(n - 1;z i) = r0)
4. ∀i:ℕn - 2. ((z i) < (z (i + 1)))
5. i : ℕn
6. v : ℝ
7. v ∈ (if i=0 then r(-1) else (z (i - 1)), if i=n - 1 then r1 else (z i))
⊢ r0 < -(r(-1)^n - i * rprod(0;n - 2;j.v - z j))
BY
{ ((InstLemma `sorted-seq-iff` [⌜ℝ⌝;⌜λ2x y.x < y⌝;⌜<n - 1, z>⌝]⋅ THENA (Auto THEN D 0 THEN Reduce 0 THEN Auto))
   THEN (RepeatFor 2 (D -1) THENA (RepUR ``seq-len seq-item`` 0 THEN Auto))
   THEN RepUR ``sorted-seq seq-len seq-item`` -1
   THEN (Assert ∀i,j:ℕn - 1.  ((i ≤ j) ⇒ ((z i) ≤ (z j))) BY
               (Auto
                THEN ((Decide ⌜i1 < j⌝⋅ THENA Auto)
                      THENL [(FHyp (-5) [-1] THEN Auto)
                            ; (RepeatFor 2 (MoveToConcl (-1)) THEN All Thin THEN Auto THEN Subst' i1 ~ j 0 THEN Auto)]
                     )
                ))
   THEN Thin (-3)) }

1
1. n : {2...}
2. z : ℕn - 1 ⟶ {x:ℝ| x ∈ (r(-1), r1)} 
3. ∀i:ℕn - 1. (Legendre(n - 1;z i) = r0)
4. ∀i:ℕn - 2. ((z i) < (z (i + 1)))
5. i : ℕn
6. v : ℝ
7. v ∈ (if i=0 then r(-1) else (z (i - 1)), if i=n - 1 then r1 else (z i))
8. ∀i,j:ℕn - 1.  (i < j ⇒ ((z i) < (z j)))
9. ∀i,j:ℕn - 1.  ((i ≤ j) ⇒ ((z i) ≤ (z j)))
⊢ r0 < -(r(-1)^n - i * rprod(0;n - 2;j.v - z j))

---

Latex:

---

Latex:

1.  n  :  \{2...\}
2.  z  :  \mBbbN{}n  -  1  {}\mrightarrow{}  \{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  (r(-1),  r1)\} 
3.  \mforall{}i:\mBbbN{}n  -  1.  (Legendre(n  -  1;z  i)  =  r0)
4.  \mforall{}i:\mBbbN{}n  -  2.  ((z  i)  <  (z  (i  +  1)))
5.  i  :  \mBbbN{}n
6.  v  :  \mBbbR{}
7.  v  \mmember{}  (if  i=0  then  r(-1)  else  (z  (i  -  1)),  if  i=n  -  1  then  r1  else  (z  i))
\mvdash{}  r0  <  -(r(-1)\^{}n  -  i  *  rprod(0;n  -  2;j.v  -  z  j))


By

---

Latex:
((InstLemma  `sorted-seq-iff`  [\mkleeneopen{}\mBbbR{}\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}\mlambda{}\msubtwo{}x  y.x  <  y\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}<n  -  1,  z>\mkleeneclose{}]\mcdot{}
    THENA  (Auto  THEN  D  0  THEN  Reduce  0  THEN  Auto)
    )
  THEN  (RepeatFor  2  (D  -1)  THENA  (RepUR  ``seq-len  seq-item``  0  THEN  Auto))
  THEN  RepUR  ``sorted-seq  seq-len  seq-item``  -1
  THEN  (Assert  \mforall{}i,j:\mBbbN{}n  -  1.    ((i  \mleq{}  j)  {}\mRightarrow{}  ((z  i)  \mleq{}  (z  j)))  BY
                          (Auto
                            THEN  ((Decide  \mkleeneopen{}i1  <  j\mkleeneclose{}\mcdot{}  THENA  Auto)
                                        THENL  [(FHyp  (-5)  [-1]  THEN  Auto)
                                                    ;  (RepeatFor  2  (MoveToConcl  (-1))
                                                          THEN  All  Thin
                                                          THEN  Auto
                                                          THEN  Subst'  i1  \msim{}  j  0
                                                          THEN  Auto)]
                                      )
                            ))
  THEN  Thin  (-3))

---

Home Index