---

Step * of Lemma Riemann-integral-additive

∀[a:ℝ]. ∀[b:{b:ℝ| a ≤ b} ]. ∀[f:{f:[a, b] ⟶ℝ| ifun(f;[a, b])} ].
  ∀c:ℝ. ∫ f[x] dx on [a, b] = (∫ f[x] dx on [a, c] + ∫ f[x] dx on [c, b]) supposing (a ≤ c) ∧ (c ≤ b)
BY
{ (Intros
   THEN (Assert λx.f[x] ∈ {f:[a, b] ⟶ℝ| ifun(f;[a, b])}  BY
               Auto)
   THEN (Assert ∫ f[x] dx on [a, c] ∈ ℝ BY
               Auto)
   THEN (Assert ∫ f[x] dx on [c, b] ∈ ℝ BY
               (Auto THEN Unfold `label` 0 THEN DoSubsume THEN Auto))) }

1
1. a : ℝ
2. b : {b:ℝ| a ≤ b} 
3. f : {f:[a, b] ⟶ℝ| ifun(f;[a, b])} 
4. c : ℝ
5. a ≤ c
6. c ≤ b
7. ∫ f[x] dx on [a, c] ∈ ℝ
8. ∫ f[x] dx on [c, b] ∈ ℝ
⊢ ifun(λx.f[x];[a, b])

2
1. [a] : ℝ
2. [b] : {b:ℝ| a ≤ b} 
3. [f] : {f:[a, b] ⟶ℝ| ifun(f;[a, b])} 
4. c : ℝ
5. [%] : (a ≤ c) ∧ (c ≤ b)
6. λx.f[x] ∈ {f:[a, b] ⟶ℝ| ifun(f;[a, b])} 
7. ∫ f[x] dx on [a, c] ∈ ℝ
8. ∫ f[x] dx on [c, b] ∈ ℝ
⊢ ∫ f[x] dx on [a, b] = (∫ f[x] dx on [a, c] + ∫ f[x] dx on [c, b])

---

Latex:

---

Latex:
\mforall{}[a:\mBbbR{}].  \mforall{}[b:\{b:\mBbbR{}|  a  \mleq{}  b\}  ].  \mforall{}[f:\{f:[a,  b]  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}|  ifun(f;[a,  b])\}  ].
    \mforall{}c:\mBbbR{}
        \mint{}  f[x]  dx  on  [a,  b]  =  (\mint{}  f[x]  dx  on  [a,  c]  +  \mint{}  f[x]  dx  on  [c,  b])  supposing  (a  \mleq{}  c)  \mwedge{}  (c  \mleq{}  b)


By

---

Latex:
(Intros
  THEN  (Assert  \mlambda{}x.f[x]  \mmember{}  \{f:[a,  b]  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}|  ifun(f;[a,  b])\}    BY
                          Auto)
  THEN  (Assert  \mint{}  f[x]  dx  on  [a,  c]  \mmember{}  \mBbbR{}  BY
                          Auto)
  THEN  (Assert  \mint{}  f[x]  dx  on  [c,  b]  \mmember{}  \mBbbR{}  BY
                          (Auto  THEN  Unfold  `label`  0  THEN  DoSubsume  THEN  Auto)))

---

Home Index