---

Step * 1 1 of Lemma Riemann-integral-radd


1. a : ℝ
2. b : {b:ℝ| a ≤ b} 
3. f : {f:[a, b] ⟶ℝ| ifun(f;[a, b])} 
4. g : {f:[a, b] ⟶ℝ| ifun(f;[a, b])} 
5. ∀f:{f:[a, b] ⟶ℝ| ifun(f;[a, b])} . lim k→∞.Riemann-sum(λx.f[x];a;b;k + 1) = ∫ f[x] dx on [a, b]
⊢ ∫ (f x) + (g x) dx on [a, b] = (∫ f x dx on [a, b] + ∫ g x dx on [a, b])
BY
{ ((InstLemma `unique-limit` [⌜λ2k.Riemann-sum(λx.((f x) + (g x));a;b;k + 1)⌝]⋅ THENA Auto) THEN BHyp -1  THEN Auto) }

1
1. a : ℝ
2. b : {b:ℝ| a ≤ b} 
3. f : {f:[a, b] ⟶ℝ| ifun(f;[a, b])} 
4. g : {f:[a, b] ⟶ℝ| ifun(f;[a, b])} 
5. ∀f:{f:[a, b] ⟶ℝ| ifun(f;[a, b])} . lim k→∞.Riemann-sum(λx.f[x];a;b;k + 1) = ∫ f[x] dx on [a, b]
6. ∀[y1,y2:ℝ].
     (y1 = y2) supposing 
        (lim n→∞.Riemann-sum(λx.((f x) + (g x));a;b;n + 1) = y2 and 
        lim n→∞.Riemann-sum(λx.((f x) + (g x));a;b;n + 1) = y1)
⊢ lim n→∞.Riemann-sum(λx.((f x) + (g x));a;b;n + 1) = ∫ f x dx on [a, b] + ∫ g x dx on [a, b]

---

Latex:

---

Latex:

1.  a  :  \mBbbR{}
2.  b  :  \{b:\mBbbR{}|  a  \mleq{}  b\} 
3.  f  :  \{f:[a,  b]  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}|  ifun(f;[a,  b])\} 
4.  g  :  \{f:[a,  b]  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}|  ifun(f;[a,  b])\} 
5.  \mforall{}f:\{f:[a,  b]  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}|  ifun(f;[a,  b])\}  .  lim  k\mrightarrow{}\minfty{}.Riemann-sum(\mlambda{}x.f[x];a;b;k  +  1)  =  \mint{}  f[x]  dx  on  [a,  b]
\mvdash{}  \mint{}  (f  x)  +  (g  x)  dx  on  [a,  b]  =  (\mint{}  f  x  dx  on  [a,  b]  +  \mint{}  g  x  dx  on  [a,  b])


By

---

Latex:
((InstLemma  `unique-limit`  [\mkleeneopen{}\mlambda{}\msubtwo{}k.Riemann-sum(\mlambda{}x.((f  x)  +  (g  x));a;b;k  +  1)\mkleeneclose{}]\mcdot{}  THENA  Auto)
  THEN  BHyp  -1 
  THEN  Auto)

---

Home Index