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Step * 1 1 1 of Lemma Riemann-integral-radd


1. a : ℝ
2. b : {b:ℝ| a ≤ b} 
3. f : {f:[a, b] ⟶ℝ| ifun(f;[a, b])} 
4. g : {f:[a, b] ⟶ℝ| ifun(f;[a, b])} 
5. ∀f:{f:[a, b] ⟶ℝ| ifun(f;[a, b])} . lim k→∞.Riemann-sum(λx.f[x];a;b;k + 1) = ∫ f[x] dx on [a, b]
6. ∀[y1,y2:ℝ].
     (y1 = y2) supposing 
        (lim n→∞.Riemann-sum(λx.((f x) + (g x));a;b;n + 1) = y2 and 
        lim n→∞.Riemann-sum(λx.((f x) + (g x));a;b;n + 1) = y1)
⊢ lim n→∞.Riemann-sum(λx.((f x) + (g x));a;b;n + 1) = ∫ f x dx on [a, b] + ∫ g x dx on [a, b]
BY
{ ((InstLemma `converges-to_functionality` [⌜λ2n.Riemann-sum(λx.(f x);a;b;n + 1) + Riemann-sum(λx.(g x);a;b;n + 1)⌝;
    ⌜λ2n.Riemann-sum(λx.((f x) + (g x));a;b;n + 1)⌝;⌜∫ f x dx on [a, b] + ∫ g x dx on [a, b]⌝;⌜∫ f x dx on [a, b]
                                                                                               + ∫ g x dx on [a, b]⌝]⋅
    THENA Auto
    )
THENM Try (BHyp -1 )
) }

1
1. a : ℝ
2. b : {b:ℝ| a ≤ b} 
3. f : {f:[a, b] ⟶ℝ| ifun(f;[a, b])} 
4. g : {f:[a, b] ⟶ℝ| ifun(f;[a, b])} 
5. ∀f:{f:[a, b] ⟶ℝ| ifun(f;[a, b])} . lim k→∞.Riemann-sum(λx.f[x];a;b;k + 1) = ∫ f[x] dx on [a, b]
6. ∀[y1,y2:ℝ].
     (y1 = y2) supposing 
        (lim n→∞.Riemann-sum(λx.((f x) + (g x));a;b;n + 1) = y2 and 
        lim n→∞.Riemann-sum(λx.((f x) + (g x));a;b;n + 1) = y1)
7. n : ℕ
⊢ (Riemann-sum(λx.(f x);a;b;n + 1) + Riemann-sum(λx.(g x);a;b;n + 1)) = Riemann-sum(λx.((f x) + (g x));a;b;n + 1)

2
1. a : ℝ
2. b : {b:ℝ| a ≤ b} 
3. f : {f:[a, b] ⟶ℝ| ifun(f;[a, b])} 
4. g : {f:[a, b] ⟶ℝ| ifun(f;[a, b])} 
5. ∀f:{f:[a, b] ⟶ℝ| ifun(f;[a, b])} . lim k→∞.Riemann-sum(λx.f[x];a;b;k + 1) = ∫ f[x] dx on [a, b]
6. ∀[y1,y2:ℝ].
     (y1 = y2) supposing 
        (lim n→∞.Riemann-sum(λx.((f x) + (g x));a;b;n + 1) = y2 and 
        lim n→∞.Riemann-sum(λx.((f x) + (g x));a;b;n + 1) = y1)
7. lim n→∞.Riemann-sum(λx.(f x);a;b;n + 1) + Riemann-sum(λx.(g x);a;b;n + 1) = ∫ f x dx on [a, b] + ∫ g x dx on [a, b]
⇒ lim n→∞.Riemann-sum(λx.((f x) + (g x));a;b;n + 1) = ∫ f x dx on [a, b] + ∫ g x dx on [a, b]
⊢ lim n→∞.Riemann-sum(λx.(f x);a;b;n + 1) + Riemann-sum(λx.(g x);a;b;n + 1) = ∫ f x dx on [a, b] + ∫ g x dx on [a, b]

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Latex:

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Latex:

1.  a  :  \mBbbR{}
2.  b  :  \{b:\mBbbR{}|  a  \mleq{}  b\} 
3.  f  :  \{f:[a,  b]  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}|  ifun(f;[a,  b])\} 
4.  g  :  \{f:[a,  b]  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}|  ifun(f;[a,  b])\} 
5.  \mforall{}f:\{f:[a,  b]  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}|  ifun(f;[a,  b])\}  .  lim  k\mrightarrow{}\minfty{}.Riemann-sum(\mlambda{}x.f[x];a;b;k  +  1)  =  \mint{}  f[x]  dx  on  [a,  b]
6.  \mforall{}[y1,y2:\mBbbR{}].
          (y1  =  y2)  supposing 
                (lim  n\mrightarrow{}\minfty{}.Riemann-sum(\mlambda{}x.((f  x)  +  (g  x));a;b;n  +  1)  =  y2  and 
                lim  n\mrightarrow{}\minfty{}.Riemann-sum(\mlambda{}x.((f  x)  +  (g  x));a;b;n  +  1)  =  y1)
\mvdash{}  lim  n\mrightarrow{}\minfty{}.Riemann-sum(\mlambda{}x.((f  x)  +  (g  x));a;b;n  +  1)  =  \mint{}  f  x  dx  on  [a,  b]  +  \mint{}  g  x  dx  on  [a,  b]


By

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Latex:
((InstLemma  `converges-to\_functionality`  [\mkleeneopen{}\mlambda{}\msubtwo{}n.Riemann-sum(\mlambda{}x.(f  x);a;b;n  +  1)
                                                                                      +  Riemann-sum(\mlambda{}x.(g  x);a;b;n  +  1)\mkleeneclose{};
    \mkleeneopen{}\mlambda{}\msubtwo{}n.Riemann-sum(\mlambda{}x.((f  x)  +  (g  x));a;b;n  +  1)\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}\mint{}  f  x  dx  on  [a,  b]  +  \mint{}  g  x  dx  on  [a,  b]\mkleeneclose{};
    \mkleeneopen{}\mint{}  f  x  dx  on  [a,  b]  +  \mint{}  g  x  dx  on  [a,  b]\mkleeneclose{}]\mcdot{}
    THENA  Auto
    )
THENM  Try  (BHyp  -1  )
)

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