---

Step * 1 1 1 2 of Lemma Riemann-integral-radd


1. a : ℝ
2. b : {b:ℝ| a ≤ b} 
3. f : {f:[a, b] ⟶ℝ| ifun(f;[a, b])} 
4. g : {f:[a, b] ⟶ℝ| ifun(f;[a, b])} 
5. ∀f:{f:[a, b] ⟶ℝ| ifun(f;[a, b])} . lim k→∞.Riemann-sum(λx.f[x];a;b;k + 1) = ∫ f[x] dx on [a, b]
6. ∀[y1,y2:ℝ].
     (y1 = y2) supposing 
        (lim n→∞.Riemann-sum(λx.((f x) + (g x));a;b;n + 1) = y2 and 
        lim n→∞.Riemann-sum(λx.((f x) + (g x));a;b;n + 1) = y1)
7. lim n→∞.Riemann-sum(λx.(f x);a;b;n + 1) + Riemann-sum(λx.(g x);a;b;n + 1) = ∫ f x dx on [a, b] + ∫ g x dx on [a, b]
⇒ lim n→∞.Riemann-sum(λx.((f x) + (g x));a;b;n + 1) = ∫ f x dx on [a, b] + ∫ g x dx on [a, b]
⊢ lim n→∞.Riemann-sum(λx.(f x);a;b;n + 1) + Riemann-sum(λx.(g x);a;b;n + 1) = ∫ f x dx on [a, b] + ∫ g x dx on [a, b]
BY
{ (All (RepUR ``so_apply``)⋅ THEN BLemma `radd-limit`  THEN Auto) }

---

Latex:

---

Latex:

1.  a  :  \mBbbR{}
2.  b  :  \{b:\mBbbR{}|  a  \mleq{}  b\} 
3.  f  :  \{f:[a,  b]  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}|  ifun(f;[a,  b])\} 
4.  g  :  \{f:[a,  b]  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}|  ifun(f;[a,  b])\} 
5.  \mforall{}f:\{f:[a,  b]  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}|  ifun(f;[a,  b])\}  .  lim  k\mrightarrow{}\minfty{}.Riemann-sum(\mlambda{}x.f[x];a;b;k  +  1)  =  \mint{}  f[x]  dx  on  [a,  b]
6.  \mforall{}[y1,y2:\mBbbR{}].
          (y1  =  y2)  supposing 
                (lim  n\mrightarrow{}\minfty{}.Riemann-sum(\mlambda{}x.((f  x)  +  (g  x));a;b;n  +  1)  =  y2  and 
                lim  n\mrightarrow{}\minfty{}.Riemann-sum(\mlambda{}x.((f  x)  +  (g  x));a;b;n  +  1)  =  y1)
7.  lim  n\mrightarrow{}\minfty{}.Riemann-sum(\mlambda{}x.(f  x);a;b;n  +  1)  +  Riemann-sum(\mlambda{}x.(g  x);a;b;n  +  1)  =  \mint{}  f  x  dx  on  [a,  b]
+  \mint{}  g  x  dx  on  [a,  b]
{}\mRightarrow{}  lim  n\mrightarrow{}\minfty{}.Riemann-sum(\mlambda{}x.((f  x)  +  (g  x));a;b;n  +  1)  =  \mint{}  f  x  dx  on  [a,  b]  +  \mint{}  g  x  dx  on  [a,  b]
\mvdash{}  lim  n\mrightarrow{}\minfty{}.Riemann-sum(\mlambda{}x.(f  x);a;b;n  +  1)  +  Riemann-sum(\mlambda{}x.(g  x);a;b;n  +  1)  =  \mint{}  f  x  dx  on  [a,  b]
+  \mint{}  g  x  dx  on  [a,  b]


By

---

Latex:
(All  (RepUR  ``so\_apply``)\mcdot{}  THEN  BLemma  `radd-limit`    THEN  Auto)

---

Home Index