---

Step * 1 1 2 1 of Lemma Riemann-integral-rless


1. a : ℝ
2. b : {b:ℝ| a < b} 
3. f : {f:[a, b] ⟶ℝ| ifun(f;[a, b])} 
4. c : ℝ
5. ∀x:ℝ. ((x ∈ [a, b]) ⇒ (f[x] ≤ c))
6. x : ℝ
7. x ∈ [a, b]
8. f[x] < c
9. a < b
10. ∀n:ℕ+
      (∃d:{ℝ| ((r0 < d)
              ∧ (∀x,y:ℝ.
                   (((a ≤ x) ∧ (x ≤ b)) ⇒ ((a ≤ y) ∧ (y ≤ b)) ⇒ (|x - y| ≤ d) ⇒ (|f[x] - f[y]| ≤ (r1/r(n))))))})
⊢ ∃d,c':ℝ. ((r0 < d) ∧ (c' < c) ∧ (∀y:ℝ. ((y ∈ [a, b]) ⇒ (|y - x| ≤ d) ⇒ (f[y] ≤ c'))))
BY
{ ((Assert ∃c':ℝ. ((f[x] < c') ∧ (c' < c)) BY (InstLemma `ravg-between` [⌜f[x]⌝;⌜c⌝]⋅ THEN Auto)) THEN ExRepD) }

1
1. a : ℝ
2. b : {b:ℝ| a < b} 
3. f : {f:[a, b] ⟶ℝ| ifun(f;[a, b])} 
4. c : ℝ
5. ∀x:ℝ. ((x ∈ [a, b]) ⇒ (f[x] ≤ c))
6. x : ℝ
7. x ∈ [a, b]
8. f[x] < c
9. a < b
10. ∀n:ℕ+
      (∃d:{ℝ| ((r0 < d)
              ∧ (∀x,y:ℝ.
                   (((a ≤ x) ∧ (x ≤ b)) ⇒ ((a ≤ y) ∧ (y ≤ b)) ⇒ (|x - y| ≤ d) ⇒ (|f[x] - f[y]| ≤ (r1/r(n))))))})
11. c' : ℝ
12. f[x] < c'
13. c' < c
⊢ ∃d,c':ℝ. ((r0 < d) ∧ (c' < c) ∧ (∀y:ℝ. ((y ∈ [a, b]) ⇒ (|y - x| ≤ d) ⇒ (f[y] ≤ c'))))

---

Latex:

---

Latex:

1.  a  :  \mBbbR{}
2.  b  :  \{b:\mBbbR{}|  a  <  b\} 
3.  f  :  \{f:[a,  b]  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}|  ifun(f;[a,  b])\} 
4.  c  :  \mBbbR{}
5.  \mforall{}x:\mBbbR{}.  ((x  \mmember{}  [a,  b])  {}\mRightarrow{}  (f[x]  \mleq{}  c))
6.  x  :  \mBbbR{}
7.  x  \mmember{}  [a,  b]
8.  f[x]  <  c
9.  a  <  b
10.  \mforall{}n:\mBbbN{}\msupplus{}
            (\mexists{}d:\{\mBbbR{}|  ((r0  <  d)
                            \mwedge{}  (\mforall{}x,y:\mBbbR{}.
                                      (((a  \mleq{}  x)  \mwedge{}  (x  \mleq{}  b))
                                      {}\mRightarrow{}  ((a  \mleq{}  y)  \mwedge{}  (y  \mleq{}  b))
                                      {}\mRightarrow{}  (|x  -  y|  \mleq{}  d)
                                      {}\mRightarrow{}  (|f[x]  -  f[y]|  \mleq{}  (r1/r(n))))))\})
\mvdash{}  \mexists{}d,c':\mBbbR{}.  ((r0  <  d)  \mwedge{}  (c'  <  c)  \mwedge{}  (\mforall{}y:\mBbbR{}.  ((y  \mmember{}  [a,  b])  {}\mRightarrow{}  (|y  -  x|  \mleq{}  d)  {}\mRightarrow{}  (f[y]  \mleq{}  c'))))


By

---

Latex:
((Assert  \mexists{}c':\mBbbR{}.  ((f[x]  <  c')  \mwedge{}  (c'  <  c))  BY
                (InstLemma  `ravg-between`  [\mkleeneopen{}f[x]\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}c\mkleeneclose{}]\mcdot{}  THEN  Auto))
  THEN  ExRepD
  )

---

Home Index