---

Step * 1 2 1 of Lemma Riemann-integral-rless


1. a : ℝ
2. b : {b:ℝ| a < b} 
3. f : {f:[a, b] ⟶ℝ| ifun(f;[a, b])} 
4. c : ℝ
5. ∀x:ℝ. ((x ∈ [a, b]) ⇒ (f[x] ≤ c))
6. x : ℝ
7. x ∈ [a, b]
8. f[x] < c
9. a < b
10. d : ℝ
11. c' : ℝ
12. r0 < d
13. c' < c
14. ∀y:ℝ. ((y ∈ [a, b]) ⇒ (|y - x| ≤ d) ⇒ (f[y] ≤ c'))
⊢ ∫ f[x] dx on [a, b] < (c * (b - a))
BY
{ (((InstLemma `Riemann-integral-additive` [⌜a⌝;⌜b⌝;⌜f⌝;⌜x⌝]⋅ THENA Auto) THEN (RWO "-1" 0 THENA Auto))
   THEN ((Assert (c * (b - a)) = ((c * (x - a)) + (c * (b - x))) BY (nRNorm 0 THEN Auto)) THEN (RWO "-1" 0 THENA Auto))
   THEN (Assert ⌜ifun(f;[a, x]) ∧ ifun(f;[x, b])⌝⋅
         THENA (D 0 THEN DVar `f' THEN Unhide THEN Auto THEN RepeatFor 2 (ParallelOp 4) THEN All Reduce THEN Auto)
         )
   THEN (InstLemma `rless-cases` [⌜a⌝;⌜b⌝;⌜x⌝]⋅ THENA Auto)
   THEN D -1) }

1
1. a : ℝ
2. b : {b:ℝ| a < b} 
3. f : {f:[a, b] ⟶ℝ| ifun(f;[a, b])} 
4. c : ℝ
5. ∀x:ℝ. ((x ∈ [a, b]) ⇒ (f[x] ≤ c))
6. x : ℝ
7. x ∈ [a, b]
8. f[x] < c
9. a < b
10. d : ℝ
11. c' : ℝ
12. r0 < d
13. c' < c
14. ∀y:ℝ. ((y ∈ [a, b]) ⇒ (|y - x| ≤ d) ⇒ (f[y] ≤ c'))
15. ∫ f[x] dx on [a, b] = (∫ f[x] dx on [a, x] + ∫ f[x] dx on [x, b])
16. (c * (b - a)) = ((c * (x - a)) + (c * (b - x)))
17. ifun(f;[a, x]) ∧ ifun(f;[x, b])
18. a < x
⊢ (∫ f[x] dx on [a, x] + ∫ f[x] dx on [x, b]) < ((c * (x - a)) + (c * (b - x)))

2
1. a : ℝ
2. b : {b:ℝ| a < b} 
3. f : {f:[a, b] ⟶ℝ| ifun(f;[a, b])} 
4. c : ℝ
5. ∀x:ℝ. ((x ∈ [a, b]) ⇒ (f[x] ≤ c))
6. x : ℝ
7. x ∈ [a, b]
8. f[x] < c
9. a < b
10. d : ℝ
11. c' : ℝ
12. r0 < d
13. c' < c
14. ∀y:ℝ. ((y ∈ [a, b]) ⇒ (|y - x| ≤ d) ⇒ (f[y] ≤ c'))
15. ∫ f[x] dx on [a, b] = (∫ f[x] dx on [a, x] + ∫ f[x] dx on [x, b])
16. (c * (b - a)) = ((c * (x - a)) + (c * (b - x)))
17. ifun(f;[a, x]) ∧ ifun(f;[x, b])
18. x < b
⊢ (∫ f[x] dx on [a, x] + ∫ f[x] dx on [x, b]) < ((c * (x - a)) + (c * (b - x)))

---

Latex:

---

Latex:

1.  a  :  \mBbbR{}
2.  b  :  \{b:\mBbbR{}|  a  <  b\} 
3.  f  :  \{f:[a,  b]  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}|  ifun(f;[a,  b])\} 
4.  c  :  \mBbbR{}
5.  \mforall{}x:\mBbbR{}.  ((x  \mmember{}  [a,  b])  {}\mRightarrow{}  (f[x]  \mleq{}  c))
6.  x  :  \mBbbR{}
7.  x  \mmember{}  [a,  b]
8.  f[x]  <  c
9.  a  <  b
10.  d  :  \mBbbR{}
11.  c'  :  \mBbbR{}
12.  r0  <  d
13.  c'  <  c
14.  \mforall{}y:\mBbbR{}.  ((y  \mmember{}  [a,  b])  {}\mRightarrow{}  (|y  -  x|  \mleq{}  d)  {}\mRightarrow{}  (f[y]  \mleq{}  c'))
\mvdash{}  \mint{}  f[x]  dx  on  [a,  b]  <  (c  *  (b  -  a))


By

---

Latex:
(((InstLemma  `Riemann-integral-additive`  [\mkleeneopen{}a\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}b\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}f\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}x\mkleeneclose{}]\mcdot{}  THENA  Auto)
    THEN  (RWO  "-1"  0  THENA  Auto)
    )
  THEN  ((Assert  (c  *  (b  -  a))  =  ((c  *  (x  -  a))  +  (c  *  (b  -  x)))  BY
                            (nRNorm  0  THEN  Auto))
              THEN  (RWO  "-1"  0  THENA  Auto)
              )
  THEN  (Assert  \mkleeneopen{}ifun(f;[a,  x])  \mwedge{}  ifun(f;[x,  b])\mkleeneclose{}\mcdot{}
              THENA  (D  0
                            THEN  DVar  `f'
                            THEN  Unhide
                            THEN  Auto
                            THEN  RepeatFor  2  (ParallelOp  4)
                            THEN  All  Reduce
                            THEN  Auto)
              )
  THEN  (InstLemma  `rless-cases`  [\mkleeneopen{}a\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}b\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}x\mkleeneclose{}]\mcdot{}  THENA  Auto)
  THEN  D  -1)

---

Home Index