---

Step * 1 2 1 2 of Lemma Riemann-integral-rless


1. a : ℝ
2. b : {b:ℝ| a < b} 
3. f : {f:[a, b] ⟶ℝ| ifun(f;[a, b])} 
4. c : ℝ
5. ∀x:ℝ. ((x ∈ [a, b]) ⇒ (f[x] ≤ c))
6. x : ℝ
7. x ∈ [a, b]
8. f[x] < c
9. a < b
10. d : ℝ
11. c' : ℝ
12. r0 < d
13. c' < c
14. ∀y:ℝ. ((y ∈ [a, b]) ⇒ (|y - x| ≤ d) ⇒ (f[y] ≤ c'))
15. ∫ f[x] dx on [a, b] = (∫ f[x] dx on [a, x] + ∫ f[x] dx on [x, b])
16. (c * (b - a)) = ((c * (x - a)) + (c * (b - x)))
17. ifun(f;[a, x]) ∧ ifun(f;[x, b])
18. x < b
⊢ (∫ f[x] dx on [a, x] + ∫ f[x] dx on [x, b]) < ((c * (x - a)) + (c * (b - x)))
BY
{ (Assert ⌜(∫ f[x] dx on [a, x] ≤ (c * (x - a))) ∧ (∫ f[x] dx on [x, b] < (c * (b - x)))⌝⋅
THENM (MoveToConcl (-1)
       THEN GenConclTerms Auto [⌜∫ f[x] dx on [a, x]⌝;⌜∫ f[x] dx on [x, b]⌝
                          ; ⌜c * (b - x)⌝;⌜c * (x - a)⌝]⋅
       THEN All Thin
       THEN Auto)
) }

1
.....assertion..... 
1. a : ℝ
2. b : {b:ℝ| a < b} 
3. f : {f:[a, b] ⟶ℝ| ifun(f;[a, b])} 
4. c : ℝ
5. ∀x:ℝ. ((x ∈ [a, b]) ⇒ (f[x] ≤ c))
6. x : ℝ
7. x ∈ [a, b]
8. f[x] < c
9. a < b
10. d : ℝ
11. c' : ℝ
12. r0 < d
13. c' < c
14. ∀y:ℝ. ((y ∈ [a, b]) ⇒ (|y - x| ≤ d) ⇒ (f[y] ≤ c'))
15. ∫ f[x] dx on [a, b] = (∫ f[x] dx on [a, x] + ∫ f[x] dx on [x, b])
16. (c * (b - a)) = ((c * (x - a)) + (c * (b - x)))
17. ifun(f;[a, x]) ∧ ifun(f;[x, b])
18. x < b
⊢ (∫ f[x] dx on [a, x] ≤ (c * (x - a))) ∧ (∫ f[x] dx on [x, b] < (c * (b - x)))

2
1. v : ℝ
2. v1 : ℝ
3. v2 : ℝ
4. v3 : ℝ
5. v ≤ v3
6. v1 < v2
⊢ (v + v1) < (v3 + v2)

---

Latex:

---

Latex:

1.  a  :  \mBbbR{}
2.  b  :  \{b:\mBbbR{}|  a  <  b\} 
3.  f  :  \{f:[a,  b]  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}|  ifun(f;[a,  b])\} 
4.  c  :  \mBbbR{}
5.  \mforall{}x:\mBbbR{}.  ((x  \mmember{}  [a,  b])  {}\mRightarrow{}  (f[x]  \mleq{}  c))
6.  x  :  \mBbbR{}
7.  x  \mmember{}  [a,  b]
8.  f[x]  <  c
9.  a  <  b
10.  d  :  \mBbbR{}
11.  c'  :  \mBbbR{}
12.  r0  <  d
13.  c'  <  c
14.  \mforall{}y:\mBbbR{}.  ((y  \mmember{}  [a,  b])  {}\mRightarrow{}  (|y  -  x|  \mleq{}  d)  {}\mRightarrow{}  (f[y]  \mleq{}  c'))
15.  \mint{}  f[x]  dx  on  [a,  b]  =  (\mint{}  f[x]  dx  on  [a,  x]  +  \mint{}  f[x]  dx  on  [x,  b])
16.  (c  *  (b  -  a))  =  ((c  *  (x  -  a))  +  (c  *  (b  -  x)))
17.  ifun(f;[a,  x])  \mwedge{}  ifun(f;[x,  b])
18.  x  <  b
\mvdash{}  (\mint{}  f[x]  dx  on  [a,  x]  +  \mint{}  f[x]  dx  on  [x,  b])  <  ((c  *  (x  -  a))  +  (c  *  (b  -  x)))


By

---

Latex:
(Assert  \mkleeneopen{}(\mint{}  f[x]  dx  on  [a,  x]  \mleq{}  (c  *  (x  -  a)))  \mwedge{}  (\mint{}  f[x]  dx  on  [x,  b]  <  (c  *  (b  -  x)))\mkleeneclose{}\mcdot{}
THENM  (MoveToConcl  (-1)
              THEN  GenConclTerms  Auto  [\mkleeneopen{}\mint{}  f[x]  dx  on  [a,  x]\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}\mint{}  f[x]  dx  on  [x,  b]\mkleeneclose{}
                                                    ;  \mkleeneopen{}c  *  (b  -  x)\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}c  *  (x  -  a)\mkleeneclose{}]\mcdot{}
              THEN  All  Thin
              THEN  Auto)
)

---

Home Index