---

Step * of Lemma Riemann-integral_functionality_endpoints

∀[a:ℝ]. ∀[b:{b:ℝ| a ≤ b} ]. ∀[f:{f:[a, b] ⟶ℝ| ifun(f;[a, b])} ].
  ∀a',b':ℝ.  (∫ f[x] dx on [a, b] = ∫ f[x] dx on [a', b']) supposing ((a = a') and (b = b'))
BY
{ (Intros
   THEN (Assert {f:[a, b] ⟶ℝ| ifun(f;[a, b])}  ⊆r {f:[a', b'] ⟶ℝ| ifun(f;[a', b'])}  BY
               ((Unhide THENA Auto) THEN DVar `b' THEN Unhide THEN Auto))
   THEN (Assert λx.f[x] ∈ {f:[a, b] ⟶ℝ| ifun(f;[a, b])}  BY
               (Unhide THEN DVar `f' THEN MemTypeCD THEN Auto))
   THEN Unhide
   THEN Auto) }

1
1. a : ℝ
2. b : {b:ℝ| a ≤ b} 
3. f : {f:[a, b] ⟶ℝ| ifun(f;[a, b])} 
4. a' : ℝ
5. b' : ℝ
6. b = b'
7. a = a'
8. {f:[a, b] ⟶ℝ| ifun(f;[a, b])}  ⊆r {f:[a', b'] ⟶ℝ| ifun(f;[a', b'])} 
9. λx.f[x] ∈ {f:[a, b] ⟶ℝ| ifun(f;[a, b])} 
10. (λx.f[x]) = (λx.f[x]) ∈ {f:[a, b] ⟶ℝ| ifun(f;[a, b])} 
⊢ a' ≤ b'

2
1. a : ℝ
2. b : {b:ℝ| a ≤ b} 
3. f : {f:[a, b] ⟶ℝ| ifun(f;[a, b])} 
4. a' : ℝ
5. b' : ℝ
6. b = b'
7. a = a'
8. {f:[a, b] ⟶ℝ| ifun(f;[a, b])}  ⊆r {f:[a', b'] ⟶ℝ| ifun(f;[a', b'])} 
9. λx.f[x] ∈ {f:[a, b] ⟶ℝ| ifun(f;[a, b])} 
⊢ ∫ f[x] dx on [a, b] = ∫ f[x] dx on [a', b']

---

Latex:

---

Latex:
\mforall{}[a:\mBbbR{}].  \mforall{}[b:\{b:\mBbbR{}|  a  \mleq{}  b\}  ].  \mforall{}[f:\{f:[a,  b]  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}|  ifun(f;[a,  b])\}  ].
    \mforall{}a',b':\mBbbR{}.    (\mint{}  f[x]  dx  on  [a,  b]  =  \mint{}  f[x]  dx  on  [a',  b'])  supposing  ((a  =  a')  and  (b  =  b'))


By

---

Latex:
(Intros
  THEN  (Assert  \{f:[a,  b]  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}|  ifun(f;[a,  b])\}    \msubseteq{}r  \{f:[a',  b']  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}|  ifun(f;[a',  b'])\}    BY
                          ((Unhide  THENA  Auto)  THEN  DVar  `b'  THEN  Unhide  THEN  Auto))
  THEN  (Assert  \mlambda{}x.f[x]  \mmember{}  \{f:[a,  b]  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}|  ifun(f;[a,  b])\}    BY
                          (Unhide  THEN  DVar  `f'  THEN  MemTypeCD  THEN  Auto))
  THEN  Unhide
  THEN  Auto)

---

Home Index