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Step * 2 1 of Lemma Riemann-integral_functionality_endpoints


1. a : ℝ
2. b : ℝ
3. a ≤ b
4. f : {f:[a, b] ⟶ℝ| ifun(f;[a, b])} 
5. a' : ℝ
6. b' : ℝ
7. b = b'
8. a = a'
9. {f:[a, b] ⟶ℝ| ifun(f;[a, b])}  ⊆r {f:[a', b'] ⟶ℝ| ifun(f;[a', b'])} 
10. λx.f[x] ∈ {f:[a, b] ⟶ℝ| ifun(f;[a, b])} 
11. ∫ f[x] dx on [a, b] = (∫ f[x] dx on [a, a'] + ∫ f[x] dx on [a', b])
⊢ ∫ f[x] dx on [a, b] = ∫ f[x] dx on [a', b']
BY
{ ((Assert {f:[a, b] ⟶ℝ| ifun(f;[a, b])}  ⊆r {f:[a', b] ⟶ℝ| ifun(f;[a', b])}  BY
          Auto)
   THEN (Assert {f:[a, b] ⟶ℝ| ifun(f;[a, b])}  ⊆r {f:[a, a'] ⟶ℝ| ifun(f;[a, a'])}  BY
               Auto)
   ) }

1
1. a : ℝ
2. b : ℝ
3. a ≤ b
4. f : {f:[a, b] ⟶ℝ| ifun(f;[a, b])} 
5. a' : ℝ
6. b' : ℝ
7. b = b'
8. a = a'
9. {f:[a, b] ⟶ℝ| ifun(f;[a, b])}  ⊆r {f:[a', b'] ⟶ℝ| ifun(f;[a', b'])} 
10. λx.f[x] ∈ {f:[a, b] ⟶ℝ| ifun(f;[a, b])} 
11. ∫ f[x] dx on [a, b] = (∫ f[x] dx on [a, a'] + ∫ f[x] dx on [a', b])
12. {f:[a, b] ⟶ℝ| ifun(f;[a, b])}  ⊆r {f:[a', b] ⟶ℝ| ifun(f;[a', b])} 
13. {f:[a, b] ⟶ℝ| ifun(f;[a, b])}  ⊆r {f:[a, a'] ⟶ℝ| ifun(f;[a, a'])} 
⊢ ∫ f[x] dx on [a, b] = ∫ f[x] dx on [a', b']

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Latex:

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Latex:

1.  a  :  \mBbbR{}
2.  b  :  \mBbbR{}
3.  a  \mleq{}  b
4.  f  :  \{f:[a,  b]  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}|  ifun(f;[a,  b])\} 
5.  a'  :  \mBbbR{}
6.  b'  :  \mBbbR{}
7.  b  =  b'
8.  a  =  a'
9.  \{f:[a,  b]  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}|  ifun(f;[a,  b])\}    \msubseteq{}r  \{f:[a',  b']  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}|  ifun(f;[a',  b'])\} 
10.  \mlambda{}x.f[x]  \mmember{}  \{f:[a,  b]  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}|  ifun(f;[a,  b])\} 
11.  \mint{}  f[x]  dx  on  [a,  b]  =  (\mint{}  f[x]  dx  on  [a,  a']  +  \mint{}  f[x]  dx  on  [a',  b])
\mvdash{}  \mint{}  f[x]  dx  on  [a,  b]  =  \mint{}  f[x]  dx  on  [a',  b']


By

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Latex:
((Assert  \{f:[a,  b]  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}|  ifun(f;[a,  b])\}    \msubseteq{}r  \{f:[a',  b]  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}|  ifun(f;[a',  b])\}    BY
                Auto)
  THEN  (Assert  \{f:[a,  b]  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}|  ifun(f;[a,  b])\}    \msubseteq{}r  \{f:[a,  a']  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}|  ifun(f;[a,  a'])\}    BY
                          Auto)
  )

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