---

Step * 1 of Lemma Riemann-sums-converge


1. a : ℝ
2. b : {b:ℝ| a ≤ b} 
3. f : [a, b] ⟶ℝ
4. mc : f[x] continuous for x ∈ [a, b]
5. k@0 : ℕ+
⊢ ∃N:{ℕ| (∀k,m:ℕ.  ((N ≤ k) ⇒ (N ≤ m) ⇒ (|Riemann-sum(f;a;b;k + 1) - Riemann-sum(f;a;b;m + 1)| ≤ (r1/r(k@0)))))}
BY
{ (RenameVar `m' (-1) THEN Assert ⌜∃M:ℕ+. (((r1/r(M)) * |[a, b]|) ≤ (r1/r(m)))⌝⋅) }

1
.....assertion..... 
1. a : ℝ
2. b : {b:ℝ| a ≤ b} 
3. f : [a, b] ⟶ℝ
4. mc : f[x] continuous for x ∈ [a, b]
5. m : ℕ+
⊢ ∃M:ℕ+. (((r1/r(M)) * |[a, b]|) ≤ (r1/r(m)))

2
1. a : ℝ
2. b : {b:ℝ| a ≤ b} 
3. f : [a, b] ⟶ℝ
4. mc : f[x] continuous for x ∈ [a, b]
5. m : ℕ+
6. ∃M:ℕ+. (((r1/r(M)) * |[a, b]|) ≤ (r1/r(m)))
⊢ ∃N:{ℕ| (∀k,m@0:ℕ.  ((N ≤ k) ⇒ (N ≤ m@0) ⇒ (|Riemann-sum(f;a;b;k + 1) - Riemann-sum(f;a;b;m@0 + 1)| ≤ (r1/r(m)))))}

---

Latex:

---

Latex:

1.  a  :  \mBbbR{}
2.  b  :  \{b:\mBbbR{}|  a  \mleq{}  b\} 
3.  f  :  [a,  b]  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}
4.  mc  :  f[x]  continuous  for  x  \mmember{}  [a,  b]
5.  k@0  :  \mBbbN{}\msupplus{}
\mvdash{}  \mexists{}N:\{\mBbbN{}|  (\mforall{}k,m:\mBbbN{}.
                        ((N  \mleq{}  k)
                        {}\mRightarrow{}  (N  \mleq{}  m)
                        {}\mRightarrow{}  (|Riemann-sum(f;a;b;k  +  1)  -  Riemann-sum(f;a;b;m  +  1)|  \mleq{}  (r1/r(k@0)))))\}


By

---

Latex:
(RenameVar  `m'  (-1)  THEN  Assert  \mkleeneopen{}\mexists{}M:\mBbbN{}\msupplus{}.  (((r1/r(M))  *  |[a,  b]|)  \mleq{}  (r1/r(m)))\mkleeneclose{}\mcdot{})

---

Home Index