---

Step * 1 2 of Lemma Riemann-sums-converge


1. a : ℝ
2. b : {b:ℝ| a ≤ b} 
3. f : [a, b] ⟶ℝ
4. mc : f[x] continuous for x ∈ [a, b]
5. m : ℕ+
6. ∃M:ℕ+. (((r1/r(M)) * |[a, b]|) ≤ (r1/r(m)))
⊢ ∃N:{ℕ| (∀k,m@0:ℕ.  ((N ≤ k) ⇒ (N ≤ m@0) ⇒ (|Riemann-sum(f;a;b;k + 1) - Riemann-sum(f;a;b;m@0 + 1)| ≤ (r1/r(m)))))}
BY
{ (ExRepD
   THEN (InstLemma `general-partition-sum` [⌜[a, b]⌝;⌜f⌝;⌜mc⌝;⌜(r1/r(M))⌝]⋅ THENA (EAuto 1 THEN MemTypeCD THEN Auto))
   THEN ExRepD
   THEN (InstLemma `small-reciprocal-real` [⌜d⌝]⋅ THENA Auto)
   THEN ExRepD) }

1
1. a : ℝ
2. b : {b:ℝ| a ≤ b} 
3. f : [a, b] ⟶ℝ
4. mc : f[x] continuous for x ∈ [a, b]
5. m : ℕ+
6. M : ℕ+
7. ((r1/r(M)) * |[a, b]|) ≤ (r1/r(m))
8. d : {d:ℝ| r0 < d} 
9. ∀p,q:{p:partition([a, b])| partition-mesh([a, b];p) ≤ d} . ∀x:partition-choice(full-partition([a, b];p)).
   ∀y:partition-choice(full-partition([a, b];q)).
     (|S(f;full-partition([a, b];q)) - S(f;full-partition([a, b];p))| ≤ ((r1/r(M)) * |[a, b]|))
10. k : ℕ+
11. (r1/r(k)) < d
⊢ ∃N:{ℕ| (∀k,m@0:ℕ.  ((N ≤ k) ⇒ (N ≤ m@0) ⇒ (|Riemann-sum(f;a;b;k + 1) - Riemann-sum(f;a;b;m@0 + 1)| ≤ (r1/r(m)))))}

---

Latex:

---

Latex:

1.  a  :  \mBbbR{}
2.  b  :  \{b:\mBbbR{}|  a  \mleq{}  b\} 
3.  f  :  [a,  b]  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}
4.  mc  :  f[x]  continuous  for  x  \mmember{}  [a,  b]
5.  m  :  \mBbbN{}\msupplus{}
6.  \mexists{}M:\mBbbN{}\msupplus{}.  (((r1/r(M))  *  |[a,  b]|)  \mleq{}  (r1/r(m)))
\mvdash{}  \mexists{}N:\{\mBbbN{}|  (\mforall{}k,m@0:\mBbbN{}.
                        ((N  \mleq{}  k)
                        {}\mRightarrow{}  (N  \mleq{}  m@0)
                        {}\mRightarrow{}  (|Riemann-sum(f;a;b;k  +  1)  -  Riemann-sum(f;a;b;m@0  +  1)|  \mleq{}  (r1/r(m)))))\}


By

---

Latex:
(ExRepD
  THEN  (InstLemma  `general-partition-sum`  [\mkleeneopen{}[a,  b]\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}f\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}mc\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}(r1/r(M))\mkleeneclose{}]\mcdot{}
              THENA  (EAuto  1  THEN  MemTypeCD  THEN  Auto)
              )
  THEN  ExRepD
  THEN  (InstLemma  `small-reciprocal-real`  [\mkleeneopen{}d\mkleeneclose{}]\mcdot{}  THENA  Auto)
  THEN  ExRepD)

---

Home Index